Question

（2012•河北）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計），這些薄板的形狀均為正方形，邊長在（單位：cm）在5～50之間．每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）有基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與薄板的大小無關，是固定不變的．浮動價與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．

薄板的邊長（cm）	20	30
出廠價（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關系式；
（2）已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得的利潤為26元（利潤=出廠價-成本價），
①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關系式．
②當邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
參考公式：拋物線：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx²元，由題意，得：p=y-mx²，進而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設一張薄板的邊長為xcm，它的出廠價為y元，基礎價為n元，浮動價為kx元，則y=kx+n．
由表格中的數(shù)據(jù)，得

50=20k+n 70=30k+n

，
解得

k=2 n=10

，
所以y=2x+10；

（2）①設一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx²元，由題意，得：
p=y-mx²=2x+10-mx²，
將x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得m=

1

25

．
所以p=-

1

25

x²+2x+10．
②因為a=-

1

25

＜0，所以，當x=-

b

2a

=-

2

2×(- 1 25 )

=25（在5～50之間）時，
p_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 25 )×10-22

4×(- 1 25 )

=35．
即出廠一張邊長為25cm的薄板，獲得的利潤最大，最大利潤是35元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．