如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE；
（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似嗎？

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)發(fā)求解即可得出拋物線的解析式；
（2）求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論；
（3）求出AD的函數(shù)解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出是否等于即可作出判斷．
解答：解：（1）設函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，
由函數(shù)經(jīng)過點A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得，
解得：，
故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=-x2-3x+4；

（2）設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
由題意得：，
解得：，
即直線BC的解析式為y=-2x+2．
故可得點E的坐標為（0，2），
從而可得：AE==2，CE==2，
故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：
設直線AD的解析式為y=kx+b，
則，
解得：，
即直線AD的解析式為y=x+4．
聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：，
解得：，
即點F的坐標為（-，），
則BF==，
又∵AB=5，BC==3，
∴=，=，
∴=，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，解答本題要求我們仔細審題，將所學知識聯(lián)系起來，綜合解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的面積S△ABC=1．
在圖1中，若
AA1
AB
=
BB1
BC
=
CC1
CA
=
1
2
，則S△A1B1C1=
1
4
；
在圖2中，若
AA2
AB
=
BB2
BC
=
CC2
CA
=
1
3
，則S△A2B2C2=
1
3
；
在圖3中，若
AA3
AB
=
BB3
BC
=
CC3
CA
=
1
4
，則S△A3B3C3=
7
16
；
按此規(guī)律，若
AA8
AB
=
BB8
BC
=
CC8
CA
=
1
9
，S△A8B8C8=
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC的面積為4，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA的長度，得到△EFA．
（1）判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；
（2）若∠BEC=15°，求AC的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•溫州二模）如圖，已知△ABC的面積是2平方厘米，△BCD的面積是3平方厘米，△CDE的面積是3平方厘米，△DEF的面積是4平方厘米，△EFG的面積是3平方厘米，△FGH的面積是5平方厘米，那么，△EFH的面積是
4
4
 平方厘米．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•孝感模擬）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-2，2）、B（-5，0）、C（-1，0）．
（1）請直接寫出點A關于y軸對稱的點的坐標；
（2）將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到△A1B1C1，再將△A1B1C1以C1為位似中心，放大2倍得到△A2B2C1，請畫出△A1B1C1和△A2B2C1，并寫出一個點A2的坐標．（只畫一個△A2B2C1即可）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別是A（-7，1），B（-3，3），C（-2，6）．
（1）求作一個三角形，使它與△ABC關于y軸對稱；
（2）寫出（1）中所作的三角形的三個頂點的坐標．

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