Question

【題目】已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點．
（1）如圖，若E、F分別是AB、AC上的點，且BE=AF．求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD

∵AB=AC，∠A=90°，D為BC中點

∴AD= =BD=CD

且AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=45°

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵∠BDE+∠ADE=90°

∴∠ADF+∠ADE=90°

即：∠EDF=90°

∴△EDF為等腰直角三角形

（2）解：解：仍為等腰直角三角形．

理由：∵△AFD≌△BED

∴DF=DE，∠ADF=∠BDE

∵∠ADF+∠FDB=90°

∴∠BDE+∠FDB=90°

即：∠EDF=90°

∴△EDF為等腰直角三角形

【解析】1）題要通過構建全等三角形來求解．連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結論．（2）與（1）題的思路和解法一樣．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和直角三角形斜邊上的中線，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能得出正確答案．