Question

如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE⊥CE，連接CD．
（1）求證：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC． （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC． （4分）
∴

DC

=

BC

．
∴DC=BC． （5分）

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴BC=

AB2-AC2

=

52-42

=3． （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴

EC

BC

=

AC

AB

．
∴

EC

3

=

4

5

EC=

12

5

． （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=

DC2-CE2

=

32-( 12 5 )2

=

9

5

．（9分）
∴tan∠DCE=

ED

EC

=

9 5

12 5

=

3

4

．（10分）