Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-1，0），與y軸正半軸交與點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P，且OB=3OA，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B．

(1) 求一次函數(shù)解析式；

(2)求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)平移直線AB使其過點(diǎn)P，如果點(diǎn)Ｍ在平移后的直線上，且，求點(diǎn)M坐標(biāo)；

(4)設(shè)拋物線的對稱軸交x軸與點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AP交y軸與點(diǎn)D，若點(diǎn)Q、N分別為兩線段PE、PD上的動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)QD、QN，請直接寫出QD+QN的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 一次函數(shù)的解析式為：y=3x+3

(2)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）

(3) M點(diǎn)的坐標(biāo)為： ）

（4）最小值為

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據(jù)OB=3OA，可求出OA的長，也就得出了A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式中，即可得出所求；
（2）將（1）得出的A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據(jù)此解析式設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線的解析式表示出縱坐標(biāo)）．然后過M作x軸的垂線設(shè)垂足為E，在構(gòu)建的直角三角形AME中，可用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出ME和AE的長，然后根據(jù)∠OAM的正切值求出M的坐標(biāo)．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）
（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥PD于點(diǎn)N，根據(jù)垂線段最短求出QD+QN的最小值．

(1)∵A（-1，0）,∴OA=1

∵OB=3OA，∴B（0，3）

∴圖象過A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為：y=3x+3

(2)∵二次函數(shù)的圖象與x軸負(fù)半軸交與點(diǎn)A（-1，0），與y軸正半軸交與點(diǎn)B（0，3），

∴c=3,a=-1

∴二次函數(shù)的解析式為：

∴拋物線的頂點(diǎn)P（1，4）

(3)設(shè)平移后的直線的解析式為：

∵直線過P（1，4）

∴b=1

∴平移后的直線為

∵M在直線，且

設(shè)M（x,3x+1）

① 當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，有，∴

∴

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，有，∴

∴ ）

(4)作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)D’，過點(diǎn)D’作D’N⊥PD于點(diǎn)N

當(dāng)-x2+2x+3=0時，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
則可得PD解析式為：y=2x+2，
令x=0，可得y=2，
∴D（0，2），
∵D與D′關(guān)于直線x=1對稱，
∴D′（2，2）．
根據(jù)ND′⊥PD，
設(shè)ND′解析式為y=kx+b，
則k=-，即y=-x+b，
將D′（2，2）代入，得2=-×2+b，解得b=3，
可得函數(shù)解析式為y=-x+3，
將兩函數(shù)解析式組成方程組得：，
解得，
故N（，
由兩點(diǎn)間的距離公式：d=，
∴所求最小值為