Question

（2013•南安市質(zhì)檢）如圖，已知點A（1，a）和點B（3，b）是直線y=mx+n與雙曲線y=

k

x

（k＞0）的交點．
（1）求a與b之間的等量關(guān)系式；
（2）當2m+n=2時，分別求直線和雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由A與B都在反比例函數(shù)的圖象上，將A與B坐標代入，變形即可得到a與b的關(guān)系式；
（2）將A與B代入直線y=mx+n中，得到關(guān)于m與n的方程組，將a與b看做已知數(shù)，表示出m與n，代入2m+n=2中列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由（1）得出的關(guān)系式，聯(lián)立求出a與b的值，進而確定出k，m及n的值，即可得到直線與雙曲線解析式．

解答：解：（1）∵點A（1，a）和點B（3，b）都在雙曲線y=

k

x

上，
∴a=k，b=

k

3

，
∴a=3b；

（2）∵點A（1，a）和點B（3，b）都在直線y=mx+n上，
∴

m+n=a 3m+n=b

，
解得：

m= b-a 2 n= 3a-b 2

，
∵2m+n=2，
∴b-a+

3a-b

2

=2，
化簡得：a+b=4，又由（1）知a=3b，
∴聯(lián)立解得：a=3，b=1，
∴k=3，m=-1，n=4，
∴直線的解析式為y=-x+4，雙曲線的解析式為y=

3

x

．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，方程組的解法，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．