Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，將△ACD沿對角線翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合．

(1)點C是否在以AB為直徑的圓上？請說明理由．
(2)當AB＝4時，求此梯形的面積．

Answer 1

(1)點C在以AB為直徑的圓上．理由見解析       (2)3

解：(1)點C在以AB為直徑的圓上．
理由：連接MC、MD，

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，
又∵∠1可由∠3翻折得到，
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AD＝DC.
又∵AM＝AD，∴CD＝AM，又∵AM∥CD，
∴四邊形AMCD是菱形，∴AM＝MC＝AD，
同理DM＝BM＝BC，又∵AD＝BC，
∴MA＝MD＝MC＝MB，
∴點C在以AB為直徑的圓上．
(2)由(1)知AM＝MD＝AD＝AB＝2，
∴△AMD是等邊三角形．
過點D作DE⊥AB于E，則AE＝AM＝×2＝1，
由勾股定理得DE＝＝＝.
所以S_梯形ABCD＝ (AB＋CD)×DE
＝×(2＋4)×＝3.