Question

（12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（-2，0），過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．

（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為         ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為          ；
（2）若拋物線y=aa²+ba+c（a≠0）經(jīng)過A，D，E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式；
（3）若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng)．
① 在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
② 運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；
（2）；
（3）①S與x的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=5t²，當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=5t﹣，當(dāng)1＜t≤時(shí)，S=﹣5t²+15t﹣；②運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

試題分析：（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對(duì)應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，求出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常復(fù)雜，須小心思考與計(jì)算：
①為求s的表達(dá)式，需要識(shí)別正方形（與拋物線）的運(yùn)動(dòng)過程．正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共歷時(shí)秒，期間可以劃分成三個(gè)階段：當(dāng)0＜t≤時(shí)，對(duì)應(yīng)圖（3）a；當(dāng)＜t≤1時(shí)，對(duì)應(yīng)圖（3）b；當(dāng)1＜t≤時(shí)，對(duì)應(yīng)圖（3）c．每個(gè)階段的表達(dá)式不同，請(qǐng)對(duì)照?qǐng)D形認(rèn)真思考；
②當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)y軸，點(diǎn)E（﹣3，2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位，向上平移了個(gè)單位．由此得到平移之后的拋物線解析式，進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
試題解析：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．
如圖（1）所示，過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G．

易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．
∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；
（2）拋物線經(jīng)過（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），
則，解得 ，
∴；
（3）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=．
當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖（3）a所示．

設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F
∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即=2
∵CC′=t，∴FC′=2t．
∴S_△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t²
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，t=1．
當(dāng)＜t≤1時(shí)，如圖（3）b所示．

設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=
∴GH=，∴CH=GH=
∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣
∴S_{梯形CC′D′G}=（t﹣+t）=5t﹣
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=．
當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖（3）c所示

設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N
∵CC′=t，B′C′=，
∴CB′=t﹣，∴B′N=2CB′=t﹣
∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t
∴E′M=E′N=（﹣t）
∴S_△MNE′=（﹣t）•（﹣t）=5t²﹣15t+
∴S_{五邊形B′C′D′MN}=S_{正方形B′C′D′E′}﹣S_△MNE′=﹣（5t²﹣15t+）=﹣5t²+15t﹣
綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=5t²，
當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=5t﹣，
當(dāng)1＜t≤時(shí)，S=﹣5t²+15t﹣；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．如圖（3）d所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2，B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′（0，）
由點(diǎn)E（﹣3，2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位，向上平移了個(gè)單位．
∵
∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．