Question

【題目】閱讀下列材料：

已知實(shí)數(shù)m，n滿足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，試求2m2＋n2的值.

解：設(shè)2m2＋n2＝t，則原方程變?yōu)?/span>(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，

所以t＝土9，因?yàn)?/span>2m2＋n2＞0，所以2m2＋n2＝9.

上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整休，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化.

根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程.

（1）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足(2x2＋2y2＋3)(2x2＋2y2－3)＝27，求x2＋y2的值.

（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足(a2＋b2)(a2＋b2－4)＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝3；（2）外接圓半徑為

【解析】

（1）設(shè)2x2＋2y2=t則原方程可變?yōu)?/span>(t＋3)(t－3)＝27，解方程即可；

（2）設(shè)a2＋b2＝t，則原方程可變?yōu)?/span>t(t－4)＝5，解得t后再由勾股定理求的c，最后由直角三角形的斜邊是外接圓的直徑可得半徑是.

解：（1）設(shè)2x2＋2y2＝t，則原方程可變?yōu)?/span>

(t＋3)(t－3)＝27

解得t＝±6，∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6

∴x2＋y2＝3

（2）(a2＋b2)(a2＋b2－4)＝5

設(shè)a2＋b2＝t，則原方程可變?yōu)?/span>

t(t－4)＝5，即t2－4t－5＝0

解得t1＝5，t2＝－1

∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝5

∴c2＝5，∴c＝，∴外接圓半徑為