Question

16．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=BF；
（2）如圖，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)求出∠AED=∠BFA=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答 解：
（1）證明：∵DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F，
∴BF⊥AG于點(diǎn)F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=90°}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
在△FAD和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DE}\\{∠FAD=∠EDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠CDF=90°，
∴DF⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．