Question

某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax²+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少

1

a

，縱坐標(biāo)增加

1

a

，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加

1

a

，縱坐標(biāo)增加

1

a

，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax²+2x+3上．
（1）請你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax²+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式；
（2）問題（1）中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎？并說明理由；
（3）在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般-一特殊-一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先將拋物線y=ax²+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，寫出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo)，消去a寫出y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）觀察（1）中的頂點(diǎn)坐標(biāo)，-

1

a

≠0，即橫坐標(biāo)≠0，則縱坐標(biāo)≠3；
（3）首先寫出拋物線的一般形式，再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加

1

a

，代入一般式，驗(yàn)證縱坐標(biāo)也增加

1

a

．

解答：解：（1）y=ax²+2x+3=a(x+

1

a

)2+3-

1

a

拋物線y=ax²+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( -

1

a

，3-

1

a

)
∴拋物線y=ax²+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式為y=x+3
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-

1

a

≠0
∴（0，3）點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)．
（3）拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
由題意得A（-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

）
把x=-

b+2

2a

代入y=ax²+bx+c=a（-

b+2

2a

）²+b（-

b+2

2a

）+c=

4ac-b2+4

4a

∴點(diǎn)A在拋物線y=ax²+bx+c上，同理點(diǎn)B也在拋物線y=ax²+bx+c上．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題．主要考查同學(xué)們對頂點(diǎn)式的理解，即靈活運(yùn)用能力，屬于一道開發(fā)性題目．