Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．

（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴ ，解得， ，

∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：如圖1，連接PC、PE，

x=﹣ =﹣ =1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，

則 ，解得， ，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），

則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC=PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x=2，

則y=﹣2×2+6=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；

（3）

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），

∵以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，

∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，

當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí)，

整理得，a2﹣3a﹣1=0，

解得，a= ，

當(dāng)2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，

整理得，a2﹣a﹣5=0，

解得，a= ，

∴當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，0），（ ，0），（ ，0），（ ，0）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2 ， 根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．