Question

如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP-DE的值；

（3）如圖3，已知點(diǎn)F坐標(biāo)為（-2，-2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△FGH，始終保持∠GFH=90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)H（n，0），當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m-n為定值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，則求C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因?yàn)锳C=AB，則作CM⊥x軸，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根據(jù)已知即可求得C點(diǎn)的值；
（2）求OP-DE的值則將其放在同一直線上，過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，即是求PQ的值，由圖易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的長；
（3）利用（2）的結(jié)論，可知m+n為定長是正確的，過F分別作x軸和y軸的垂線，類似（2），即可求得m+n的值．

解答：解：（1）過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°
則∠MAC=∠OBA
在△MAC和△OBA中

∠CMA=∠AOB=90° ∠MAC=∠OBA AC=BA

則△MAC≌△OBA（AAS）
則CM=OA=2，MA=OB=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）；

（2）過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，如圖2，則OP-DE=PQ，∠APO+∠QPD=90°
∠APO+∠OAP=90°，則∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中

∠AOP=∠PQD=90° ∠QPD=∠OAP AP=PD

則△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP-DE=PQ=OA=2；

（3）結(jié)論②是正確的，m+n=-4，
如圖3，過點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，
則FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中

∠FSH=∠FTG=90° ∠FHS=∠FGT FS=FT

則△FSH≌△FTG（AAS）
則GT=HS，
又∵G（0，m），H（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（-2，-2），
∴OT═OS=2，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-2，HS=OH+OS=n+2，
則-2-m=n+2，
則m+n=-4．

點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；熟記三角形全等的求法，尤其是Rt△，數(shù)形結(jié)合是重要的解題方法，同學(xué)們一定要學(xué)會(huì)應(yīng)用．