Question

如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，交軸與兩點(diǎn)，連接，已知.

    （1）求拋物線的解析式；

    （2）求的值；

    （3）設(shè)為點(diǎn)下方、軸上方、軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .

                                                      第27題圖

Answer 1

解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入得

  ------------------------------1分

解得

         

∴拋物線的解析式為；--------------2分

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，

解方程組

    得：或

        ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）  ---------------------3分

又∵C（3，0）

∴，，，

∴

∵

∴

同理：   ---------------------4分

∴

∴

            ；-------------------------------------5分

（3）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由于P在y軸右側(cè)可得x＞0，則，

∵PQ⊥PA，

， ---------------------------------------6分

    ①如圖2，當(dāng)時(shí)，．

∵，

∴

∴

∴

∴P（x，3﹣3x）  ---------------------7分

把P（x，3﹣3x）代入，得

整理，得

     

解得：（舍去），（舍去）；---------8分

②如圖3，當(dāng)時(shí)，

同理可得：，

則P      ----------------------------9分

把P，代入，得

整理，得

       

解得：（舍去），

∴    ---------------------------------------10分