Question

【題目】定義：形如y＝|G|（G為用自變量表示的代數(shù)式）的函數(shù)叫做絕對值函數(shù)．

例如，函數(shù)y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是絕對值函數(shù)．

絕對值函數(shù)本質(zhì)是分段函數(shù)，例如，可以將y＝|x|寫成分段函數(shù)的形式：．

探索并解決下列問題：

（1）將函數(shù)y＝|x﹣1|寫成分段函數(shù)的形式；

（2）如圖1，函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與函數(shù)y＝的圖象交于B，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的平行線分別交函數(shù)y＝，y＝|x﹣1|的圖象于D，E兩點(diǎn)．求證△ABE∽△CDE；

（3）已知函數(shù)y＝|﹣x2+2x+3|的圖象與y軸交于F點(diǎn)，與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），點(diǎn)P在函數(shù)y＝|﹣x2+2x+3|的圖象上（點(diǎn)P與點(diǎn)F不重合），PH⊥x軸，垂足為H．若△PMH與△MOF相似，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）P的坐標(biāo)為（6，21），（，），（，）．

【解析】

(1)根據(jù)題中規(guī)定的寫法寫出即可．

(2)根據(jù)題意分別得出B、C、E、D的坐標(biāo),根據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等即可證明相似．

(3)根據(jù)題意先算出F、M、N的坐標(biāo),再利用設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)的方法,分類討論,根據(jù)相似對應(yīng)邊成比例代入求解即可．

(1)；

(2)∵函數(shù)y＝|x﹣1|與函數(shù)的圖象交于B,C,過點(diǎn)B作x軸的平行線分別交函數(shù),y＝|x﹣1|的圖象于D,E兩點(diǎn)．

∴根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為：B(3,2),C(﹣2,3),E(﹣1,2),D(﹣3,2)．

∴BE＝3﹣(﹣1)＝4,DE＝﹣1﹣(﹣3)＝2,AE＝,CE＝,

∴在△AEB和△CED中,∠AEB＝∠CED,,

∴△PMB∽△PNA．

(3)P的坐標(biāo)為(6,21),(, ),(,)．

當(dāng)x＝0時(shí),y＝|﹣x2+2x+3|＝3,∴F(0,3)．

當(dāng)y＝0時(shí),|﹣x2+2x+3|＝0,∴x1＝﹣1,x2＝3,∴M(﹣1,0),N(3,0)．

由題意得y＝|﹣x2+2x+3|＝,

設(shè)P的橫坐標(biāo)為x,

當(dāng)x＜﹣1時(shí),由題意得P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

若△PMH∽△MFO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝(舍去)．

當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí),由題意得P(x,﹣x2+2x+3),

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐標(biāo)為(,)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

當(dāng)x＞3時(shí),由題意P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝6．

∴P的坐標(biāo)為(6,21)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得 x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐標(biāo)為(,)．

綜上：P的坐標(biāo)為(6,21),(,),(,)．