Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經過O、E、A三點．

（1）∠OBA=
（2）求拋物線的函數表達式
（3）若P為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？

Answer 1

【答案】
（1）90°
（2）

解：連接OC，如圖1所示：

∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分線，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6，8），B（8，4）

∴OB所在直線的函數關系為y=x，又∵E點的橫坐標為6，∴E點縱坐標為3，即E（6，3），拋物線過O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴設此拋物線的函數關系式為y=ax（x﹣10），把E點坐標代入得：3=6a（6﹣10），解得a=﹣．∴此拋物線的函數關系式為y=﹣x（x﹣10），即y=﹣x2+x

（3）

解：設點P（p，﹣p2+p），①若點P在CD的左側，延長OP交CD于Q，如圖2：

OP所在直線函數關系式為：y=（﹣p+）x∴當x=6時，y=，即Q點縱坐標為，

∴QE=﹣3=，

S四邊形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE﹣S△PQE=OADE+QEOD﹣QEPx

=×10×3+×（）×6﹣（）（6﹣p）=-p2+p+15

②若點P在CD的右側，延長AP交CD于Q，如圖3：

P（p，﹣p2+p），A（10，0）∴設AP所在直線方程為：y=kx+b，把P和A坐標代入得，，

解得．∴AP所在直線方程為：y=﹣px+p，∴當x=6時，y=﹣6+p=P，即Q點縱坐標為P，

∴QE=P﹣3，∴S四邊形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=OADE+QEDA﹣QE（Px﹣6）

=×10×3+QE（DA﹣Px+6）=15+（p﹣3）（10﹣p）=-p2+4p=-(p-8)2+16，

∴當P在CD右側時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，令-p2+p+15=16，解得，p=3±，

當P在CD左側時，四邊形POAE的面積等于16的對應P的位置有兩個，綜上所知，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個．

【解析】（1）利用圓周角定理，直徑所對的圓周角等于90°，即可得出答案；