Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），與x軸交于點(diǎn)A、B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交BC于點(diǎn)E，連接CP，求△PCE面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，當(dāng)△OMD為等腰三角形時(shí)，連接MP、ME，把△MPE沿著PE翻折，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意得：

，

解得： ，

所以該拋物線的解析式為：y= x2+x﹣4；

（2）

解：令y=0，即 x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC= ABOC=12

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥BC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△BAC，

∴ =（ ）2，即 =（ ）2，

化簡(jiǎn)得：S△PBE= （2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE= PBOC﹣S△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）2

=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+1）2+3

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S△PCE的最大值為3．

（3）

解：由（2）已知A（﹣4，0），

∵點(diǎn)D為0A中點(diǎn)，

∴D（﹣2，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0）、C（0，﹣4）分別代入得：

，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣4．

∵PE∥AC，所以可設(shè)直線PE的解析式為y=﹣x+a，

將P（﹣1，0）代入y=﹣x﹣a得a=﹣1，

所以直線PE的解析式為y=﹣x﹣1．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a′，

將B（2，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+a′得 ，

解得k=2，a′=﹣4．

所以直線BC的解析式為y=2x﹣4．

由2x﹣4=﹣x﹣1得x=1，將x=1代入y=2x﹣4得y=﹣2，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）．

①當(dāng)MD=OD時(shí)，如圖1：

∵AD=MD=AD，OA=OC，∠DAM=∠OAC，

∴△ADM∽△AOC，

∴∠ADM=∠AOC=90°，即DM⊥x軸，

<>∴M的橫坐標(biāo)為﹣2，將x=﹣2代入y=﹣x﹣4，得y=﹣2．

所以此時(shí)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

∵M(jìn)和E點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，

∴ME∥x軸，

∴∠PEM=45°．

由翻折得∠ENM=2∠PEM=90°，即NE∥y軸，

∴EN=ME=3，

∵E（1，﹣2），

∴N（1，1）．

②當(dāng)DM=OM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸交于點(diǎn)，如圖2：

易知DG=OG=1，即G點(diǎn)與P點(diǎn)重合，M的橫坐標(biāo)為﹣1，

將x=﹣1代入y=﹣x﹣4，得y=﹣3．

∴M（﹣1，﹣3）．

∵M(jìn)E= = ，EB= = ，

∴ME=EB，

∵PB=3，PM=3，即PB=PM，

又∵PE=PE，

∴△BPE≌△MPE，

∴∠BEP=∠MEP，

∴點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，

∴N（2，0）；

③當(dāng)OD=OM時(shí)，

設(shè)點(diǎn)O到AC的最短距離為h，則OAOC=hAC

∵AC= = =4 ，

∴h= =2 ，

∵h(yuǎn)＞OD，

∴OD≠OM．此時(shí)等腰△OMD不存在．

綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，1）或（2，0）．

【解析】（1）把B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y= x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；（3）易知D（﹣2，0），接著利用待定系數(shù)求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣4，再根據(jù)直線PE與直線BC的解析式求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣2）．求M點(diǎn)分類討論：①當(dāng)MD=OD時(shí)，求得M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；所以ME∥x軸，則∠PEM=45°，由翻折得∠NEM=90°，所以NE∥y軸，可得N（1，1）；②當(dāng)DM=OM時(shí)，求得M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），又可證得△MPE≌△BPE，所以N與B重合，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；③OD=OM時(shí)，等腰△OMD不存在．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．