Question

20．一個圓錐的高為3cm，側面展開圖是半圓，求：
（1）圓錐的母線與底面半徑之比；
（2）圓錐的表面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓錐的側面展開扇形的周長等于圓錐的底面周長，分別設出圓錐的母線長和圓錐的底面半徑，利用上述關系得到關系式求出兩者的比值即可；
（2）根據(jù)圓錐的母線和底面半徑的比設出圓錐的底面半徑后表示出母線，然后利用勾股定理求得底面半徑和母線長，從而利用圓錐的側面積計算方法求得圓錐的表面積．

解答 解：如圖，設圓錐的軸截面為△ABC，過A作AO⊥BC于O，設母線長AB=l，底面⊙O的半徑為r，高AO=h．
（1）∵圓錐的側面展開圖是半圓，
∴2πr=$\frac{1}{2}$×2πl(wèi)=πl(wèi)，$\frac{l}{r}$=2．
（2）在Rt△ABO中，
∵l ²=r ²+h ²，l=2r，h=3 cm，∴（2r） ²=3 ²+r ²．
∵r為正數(shù)，解得r=$\sqrt{3}$，l=2r=2$\sqrt{3}$．
S _表=S _側+S _底=$\frac{1}{2}$πl(wèi) ²+πr ²=$\frac{1}{2}$π×（2$\sqrt{3}$） ²+π×（ $\sqrt{3}$） ²=9π．

點評 本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是能夠牢記圓錐的有關計算公式，難度不大．