Question

【題目】已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；

(2) 若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請(qǐng)判斷CN+2AM -2MN的值是否與m有關(guān)？并說(shuō)明理由.

(3) 若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長(zhǎng)度 (用含m的代數(shù)式表示).

Answer 1

【答案】(1)6；(2) 無(wú)關(guān)，理由見(jiàn)解析；(3)m.

【解析】

（1）根據(jù)中點(diǎn)可得到AC、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)CN=3AN，CM=3BM，可計(jì)算出CN、CM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)線段之間的關(guān)系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

（3）分情況討論，畫(huà)出圖形，根據(jù)線段之間的關(guān)系計(jì)算即可.

解：（1）∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且AB=m=8，

∴AC=BC=AB=4，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，CM=BC，

∴CN=3，CM=3，

∴MN=CN+CM=3+3=6;

（2）若C在A的左邊，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴MN=CM－CN=3BM－3AN，

∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，

∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，

∴CN +2AM－2MN的值與m無(wú)關(guān)；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，CM=BC，

∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，BM=BC，

∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；

③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊，如圖所示：

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴AN=AC，CM=BC，

∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，

綜上所述，MN的長(zhǎng)度為m.