【題目】愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是ABC的中線(xiàn),ANBN于點(diǎn)P,像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如圖1,當(dāng)tanPAB=1,c=4時(shí),a= ,b= ;

如圖2,當(dāng)PAB=30°,c=2時(shí),a= ,b= ;

【歸納證明】

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來(lái),并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BECE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3,AB=3,求AF的長(zhǎng).

【答案】(1)4,4;,(2)a2+b2=5c2,理由見(jiàn)解析.(3)4.

【解析】

試題分析:(1)①首先證明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.②連接EF,在RT△PAB,RT△PEF中,利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題.(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)解:如圖1中,∵CE=AE,CF=BF,

∴EF∥AB,EF=AB=2,

∵tan∠PAB=1,

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°,

∴PF=PE=2,PB=PA=4,

∴AE=BF==2

∴b=AC=2AE=4,a=BC=4

如圖2中,連接EF,

,∵CE=AE,CF=BF,

∴EF∥AB,EF=AB=1,

∵∠PAB=30°,

∴PB=1,PA=,

在RT△EFP中,∵∠EFP=∠PAB=30°,

∴PE=,PF=,

∴AE==,BF==,

∴a=BC=2BF=,b=AC=2AE=,

(2)結(jié)論

證明:如圖3中,連接EF.

∵AF、BE是中線(xiàn),

∴EF∥AB,EF=AB,

∴△FPE∽△APB,

==

設(shè)FP=x,EP=y,則AP=2x,BP=2y,

∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2,

b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2,

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2

∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2

(3)解:如圖4中,在△AGE和△FGB中,

,

∴△AGE≌△FGB,

∴BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P點(diǎn),

同理可證△APH≌△BFH,

∴AP=BF,PE=CF=2BF,

即PE∥CF,PE=CF,

∴四邊形CEPF是平行四邊形,

∴FP∥CE,

∵BE⊥CE,

∴FP⊥BE,即FH⊥BG,

∴△ABF是中垂三角形,

由(2)可知AB2+AF2=5BF2

∵AB=3,BF=AD=,

∴9+AF2=5×(2

∴AF=4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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