【題目】(模型建立)
如圖1,等腰直角三角形中,,,直線經(jīng)過點,過作于點,過作于點.
求證:;
(模型應(yīng)用)
①已知直線:與軸交于點,與軸交于點,將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至直線,如圖2,求直線的函數(shù)表達式;
②如圖3,在平面直角坐標系中,點,作軸于點,作軸于點,是線段上的一個動點,點是直線上的動點且在第一象限內(nèi).問點、、能否構(gòu)成以點為直角頂點的等腰直角三角形,若能,請直接寫出此時點的坐標,若不能,請說明理由.
【答案】【模型建立】詳見解析;【模型應(yīng)用】①;②Q點坐標為(4,2)或(,).
.
【解析】
模型建立:根據(jù)△ABC為等腰直角三角形,AD⊥ED,BE⊥ED,可判定△ACD≌△CBE;
模型應(yīng)用:①過點B作BC⊥AB,交l2于C,過C作CD⊥y軸于D,根據(jù)△CBD≌△BAO,得出BD=AO=2,CD=OB=3,求得C(-3,5),最后運用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達式;
②分兩種情況考慮:如圖3,∠AQP=90°,AQ=PQ,設(shè)Q點坐標為(a,2a-6),利用三角形全等得到a+6-(2a-6)=8,得a=4,易得Q點坐標;如圖4,同理求出Q的坐標.
模型建立:證明:∵,
∴.
∵,∠ACB=90°.
∴.
又∵,
∴.
在與中,
,
∴.
模型應(yīng)用:
如圖2,過點作交于,過作軸于,
∵,
∴為等腰直角三角形.
由(1)可知:,
∴,.
∵
∴令,得,∴,
令,得,∴.
∴,,
∴.
∴.
設(shè)的解析式為
∴
∴
的解析式:.
分以下兩種情況:
如圖3,當∠AQP=90°時,AQ=PQ,過點Q作EF⊥y軸,分別交y軸和直線BC于點E、F.
在△AQE和△QPF中,由(1)可得,△AQE≌△QPF(AAS),
AE=QF,設(shè)點Q的坐標為(a,2a-6),即6-(2a-6)=8-a,解得a=4.
此時點Q的坐標為(4,2).
如圖4:當∠AQP=90°時,AQ=PQ時,過點Q作EF⊥y軸,分別交y軸和直線BC于點E、F,設(shè)點Q的坐標為(a,2a-6),則AE=2a-12,FQ=8-a.
,
在△AQE和△QPF中,同理可得△AQE≌△QPF(AAS),
AE=QF,即2a-12=8-a,解得a=.
此時點Q的坐標為(,).
綜上所述:A、P、Q可以構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形,點Q的坐標為 (4,2)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小慧家與文具店相距720米,小慧從家出發(fā),勻速步行12分鐘來到文具店,買文具用時4分鐘,因家中有事,沿原路勻速跑步返回家中,用時6分鐘.
(1)小慧返回家中的速度比去文具店的速度快 米/分鐘;
(2)請你畫出這個過程中,小慧離家的距離與時間的函數(shù)圖象;
(3)求小慧從家出發(fā)后經(jīng)過多少分鐘與她家距離為480米.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,為坐標原點,、兩點的坐標分別為、,且,點從出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線勻速運動,設(shè)點運動時間為秒.
(1) , .
(2)連接,若的面積為3,求的值.
(3)過作直線的垂線,垂足為,直線與軸交于點,在點運動的過程中,是否存在這樣點,使,若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是( )
A. a>0
B. 不等式ax2+bx+c>0的解集是﹣1<x<5
C. a﹣b+c>0
D. 當x>2時,y隨x的增大而增大
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目校,為進一步推動該項目的發(fā)展.學校準備到體育用品店購買甲、乙兩種型號乒乓球若干個,已知3個甲種乒乓球和5個乙種乒乓球共需50元,2個甲種乒乓球和3個乙種乒乓球共需31元.
(1)求1個甲種乒乓球和1個乙種乒乓球的售價各是多少元?
(2)學校準備購買這兩種型號的乒乓球共200個,要求甲種乒乓球的數(shù)量不超過乙種乒乓球的數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】期末,學校為了調(diào)查這學期學生課外閱讀情況,隨機抽樣調(diào)查了一部分學生閱讀課外書的本數(shù),并將收集到的數(shù)據(jù)整理成如圖的統(tǒng)計圖.
(1)這次一共調(diào)查的學生人數(shù)是_______人;
(2)所調(diào)查學生讀書本數(shù)的眾數(shù)是_______本,中位數(shù)是_______本.
(3)若該校有800名學生,請你估計該校學生這學期讀書總數(shù)是多少本?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線,與和分別相切于點和點.點和點分別是和上的動點,沿和平移.的半徑為,.下列結(jié)論錯誤的是( )
A. B. 和的距離為
C. 若,則與相切 D. 若與相切,則
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點O是斜邊AB的中點,將邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處,將三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α(0°<α<90°),記三角板的兩直角邊與Rt△ABC的兩腰AC、BC的交點分別為E、D,四邊形CEOD是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖①所示).那么,在上述旋轉(zhuǎn)過程中:
(1)線段CE與BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CEOD的面積是否發(fā)生變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)當三角尺旋轉(zhuǎn)角度為____________時,四邊形CEOD是矩形;
(3)若三角尺繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當旋轉(zhuǎn)角度α(90°<α<180°)時,三角尺的兩邊與等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延長線分別交于點D、E(如圖②所示). 那么線段CE與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立,給予證明;若不成立,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】分別畫出滿足下列條件的點:(尺規(guī)作圖,請保留作圖痕跡,不寫作法.作圖痕跡請加粗加黑!)
(1)在邊上找一點,使到和的距離相等;
(2)在射線上找一點,使.
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