Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A(0，3)，點(diǎn) B(，0)，連接 AB．若對(duì)于平 面內(nèi)一點(diǎn) C，當(dāng)△ABC 是以 AB 為腰的等腰三角形時(shí)，稱點(diǎn) C 是線段 AB 的“等長(zhǎng)點(diǎn)”

(1)在點(diǎn) C1 (－2， )，點(diǎn) C2 (0，－2)，點(diǎn) C3 (， )中，線段 AB 的“等長(zhǎng)點(diǎn)”是點(diǎn)______________；

(2)若點(diǎn) D( m ， n )是線段 AB 的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，且∠DAB＝60，求 m 和 n 的值．

Answer 1

【答案】（1）C1 ，C3；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理分別求出三角形的三條邊長(zhǎng)，判斷是否是以AB為腰的等腰三角形；（2）分兩類情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí)，結(jié)合等長(zhǎng)點(diǎn)的定義分別求出兩種情況m、n的值即可.

試題解析：

解：(1) C1 (－2，3+2)，AO=3，BO=，

作C1D⊥x軸交于點(diǎn)D，作C1E⊥y軸交于點(diǎn)E，

∴C1D=3+2，C1E=2，

由勾股定理可得：AB=2，AC1=2，

∴C1是線段AB的等長(zhǎng)點(diǎn)；

同理可證：C3是線段AB的等長(zhǎng)點(diǎn)；

（2）如圖1，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

∴AB=2，tan∠OAB=，

∴∠OAB＝30°，

①當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時(shí)，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠DAB－∠BAO= 30°，

∵點(diǎn)D( m，n )是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，

∴AD=AB，

∴D（，0），

∴m=，n=0；

②當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí)，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB= 90°，

∴n=3,

∵點(diǎn)D( m，n )是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，

∴AD=AB=2，

∴m=2.

∴m=2，n=3.