Question

4．如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB•AF=CB•CD
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點．設(shè)DP=xcm（x＞0），四邊形BCDP的面積為ycm²．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

Answer 1

分析 （1）首先證得△DCF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）①由勾股定理可得BC的長，利用梯形的面積公式可得結(jié)果；②首先由垂直平分線的性質(zhì)可得點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A，PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小即可，因為當P、A、B三點共線時PB+PA最小，由中位線的性質(zhì)可得EF=$\frac{9}{2}$，由（1）知CF：BC=CD：AB，可得CD，即得AD，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF，易得DE，即得x，代入①可得y．

解答 （1）證明：∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{CD}{AB}$=$\frac{AF}{CB}$．
∴AB•AF=CB•CD；
（2）解①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴CF=AF=6，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+9）×6=3x+27（x＞0）
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周長最小，就是PB+PC最小．
由（1）可知，點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小．此時DP=DE，PB+PA=AB．
由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，EF=$\frac{9}{2}$．
∴AF：BC=AD：AB，即6：9=AD：15．
∴AD=10．Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$．
∴當x=$\frac{25}{2}$時，△PBC的周長最小，此時y=$\frac{129}{2}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，垂直平分線的性質(zhì)及判定定理及最短路徑問題，分析出當P、A、B三點共線時PB+PA最小是解答此題的關(guān)鍵．