Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以 cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明PQ∥BC；
（2）以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問(wèn)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，

∴AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB，

又∵∠DAB=60°（已知），

∴∠BAC=∠BCA=30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA= AC，

∴OB= AB=1（30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），

∴OA= （cm），AC=2OA=2 （cm），

運(yùn)動(dòng)ts后， ，

∴

又∵∠PAQ=∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）解：如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= PC=

由PM=PQ=AQ=t，即 =t

解得t=4 ﹣6，此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

如圖3，⊙P過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴ 時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

如圖4，⊙P過(guò)點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，即2 t=t，∴t=3﹣ ．

∴當(dāng)1＜t≤3﹣ 時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即t=2時(shí)P與C重合，Q與B重合，也只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴當(dāng)t=4 ﹣6或1＜t≤3﹣ 或t=2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)4 ﹣6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對(duì)角線互相垂直、對(duì)角線平分對(duì)角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論；（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，構(gòu)建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM= PC= ，然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程即可求得t的值；

如圖3，⊙P過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)以及（2）中求得t的值來(lái)確定此時(shí)t的取值范圍；

如圖4，⊙P過(guò)點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程求得t的值．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半，以及對(duì)直線與圓的三種位置關(guān)系的理解，了解直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．