Question

1．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，點D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G是AF延長線上一點，BE交AG于F，且DE=2FG，連GE、GB．則下列結(jié)論：
①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+$\sqrt{2}$DC=AB．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 延長ED交AB于M，證△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=75°，即可判斷①；求得Rt△EDF中∠EDF=60°，知DE=2DF=2FG即DF=FG，結(jié)合AG⊥BE可判斷②；在Rt△ACD中由∠ADC=75°可令CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$、AC=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$、AD=4，根據(jù)AB=$\sqrt{2}$AC，變形后可判斷④；由DE=$\sqrt{2}$CD、FG=$\frac{1}{2}$DE、EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE可得FG、EF，再根據(jù)BF=BE-EF=AD-EF可得BF的長，即可判斷③．

解答 解：如圖，延長ED交AB于M，

則∠DMB=90°，
∵∠ADB=105°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠MDB=45°，∠ADC=75°，∠CAD=15°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CE=CD，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=75°，
∴∠AFE=180°-∠CAD-∠CEB=90°，即AF⊥BE，故①正確；

∵∠ADC=75°，∠CDE=45°，
∴Rt△EDF中，∠EDF=60°，
∴DE=2DF=2FG，即DF=FG，
∴EF垂直平分DG，
∴△DEG是等邊三角形，
∴∠DGE=60°，故②正確；

方法一：在Rt△ACD中，∵∠ADC=75°，
∴∠PAD=15°，
作∠ADP=∠PAD=15°，
則PA=PD，∠CPD=30°，
設(shè)CD=a，則PD=PA=2a，PC=$\sqrt{3}$a，
∴AD=$\sqrt{C{D}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$a，
則$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}a}$=$\sqrt{\frac{1}{8+4\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
同理可得$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴CD：AC：AD=（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）：（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）：4，
∴令CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$、AC=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$、AD=4，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）=2+2$\sqrt{3}$=4+$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）=AD+$\sqrt{2}$CD，故④正確；
方法二：由①知∠AFB=90°，
∵∠ADC=∠BDF=75°，
∴∠DBF=15°，
由②知△DEG為等邊三角形，且BE⊥AG，
∴DF=GF，
∴∠DBF=∠GBF=15°，
∴∠BGF=90°-∠GBF=75°，
∵∠ABG=∠ABD+∠DBF+∠GBF=75°，
∴AB=AG，
又∵DG=DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AB=AG=AD+DG=AD+$\sqrt{2}$CD，故④正確；

∵DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴FG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{3}$-1，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3-$\sqrt{3}$，
∴BF=BE-EF=AD-EF=4-3+$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$，
顯然BF≠2FG，故③錯誤；
綜上可知，①②④正確，
故選：B．

點評 本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及角平分線定理等知識點，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵．