Question

【題目】已知反比例函數(shù)y=（m為常數(shù)）的圖象在一、三象限．

（1）求m的取值范圍；

（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過ABOD的頂點D，點A、B的坐標分別為（0，3），（﹣2，0）．

①求出函數(shù)解析式；

②設(shè)點P是該反比例函數(shù)圖象上的一點，若OD=OP，則P點的坐標為 ；若以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為 個．

Answer 1

【答案】（1）m＜；

（2）①反比例函數(shù)解析式為y=；

②P點的坐標為（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；4

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范圍；

（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥OB，AD=OB=2，易得D點坐標為（2，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得1﹣2m=6，則反比例函數(shù)解析式為y=；

②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱可得點D關(guān)于原點的對稱點P滿足OP=OD，則此時P點坐標為（﹣2，﹣3）；再根據(jù)反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對稱，可得點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱點P滿足OP=OD，此時P點坐標為（3，2），易得點（3，2）關(guān)于原點的對稱點P也滿足OP=OD，此時P點坐標為（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，所以以D點為頂點可畫出點P1，P2；以O(shè)點頂點可畫出點P3，P4，如圖．

試題解析：（1）根據(jù)題意得1﹣2m＞0，

解得m＜；

（2）①∵四邊形ABOD為平行四邊形，

∴AD∥OB，AD=OB=2，

又∵A點坐標為（0，3），

∴D點坐標為（2，3），

∴1﹣2m=2×3=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

②∵反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于原點中心對稱，

∴當點P與點D關(guān)于原點對稱，則OD=OP，此時P點坐標為（﹣2，﹣3），

∵反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

∴點P與點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱時滿足OP=OD，

此時P點坐標為（3，2），

點（3，2）關(guān)于原點的對稱點也滿足OP=OD，

此時P點坐標為（﹣3，﹣2），

綜上所述，P點的坐標為（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；

由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，則以D點為圓心，DO為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P1，P2，則點P1，P2滿足條件；以O(shè)點為圓心，OD為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P3，P4，則點P3，P4也滿足條件，如圖，作線段OD的垂直平分線，與反比例函數(shù)的圖象無交點．