Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將△APD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（1）PD=_________、AD=_________；（用x的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，求x的值．

（3）如圖（2），另有一動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，將△BQE繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ，

①連結(jié)A′B′，當(dāng)直線A′B′與△ABC的一邊垂直時(shí)，求線段A′B′的長(zhǎng)．

②當(dāng)A′關(guān)于QE的對(duì)稱點(diǎn)落在四邊形BE B′Q的內(nèi)部（包括邊上）時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】 3x 4x

【解析】試題分析：（1）由勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)即可表示出PD、AD的值；

（2）當(dāng)A’在BC邊上時(shí)，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，求出x的值；

（3）分A′B′⊥AB時(shí)，A′B′⊥BC時(shí)，A′B′⊥AC時(shí)，結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念，即可求得A'B'的長(zhǎng)度．

試題解析： (1)PD=3x,AD=4x；

(2)如圖（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，由題意得

四邊形AP A′D為平行四邊形

∵△APD∽△ABC，AP=5x，

∴ A′P=AD=4x，PC=4－5x．∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC．

x＝．當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)， x＝．

(3) Ⅰ、當(dāng)A′B′⊥AB時(shí)，如圖6，

∴DH=PA′=AD,HE=B′Q=EB，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，

∴x=，

∴A′B′=QEPD=x=；

Ⅱ、當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)，如圖7，

∴B′E=5x，DE=57x，

∴cosB==35，

∴x=，

∴A′B′=B′DA′D=；

Ⅲ、當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)，如圖8，

由(1)有,x=，

∴A′B′=PA′sinA=；

當(dāng)A′B′⊥AB時(shí),x=,A1B1=．

當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)x=, A1B1=．

當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)x=, A1B1=．

②.

點(diǎn)睛（1）根據(jù)勾股定理求出AC，證明△APD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算；

（2）根據(jù)四邊形AP A′D為平行四邊形，△APD∽△ABC， A′PC∽△ABC進(jìn)行解答；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，分三種情況，結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念計(jì)算．