Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．如圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況，研究：

（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD與PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？結(jié)合圖②說(shuō)明理由．

（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PCE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（直接寫答案）．

Answer 1

【答案】（1）PD=PE,證明見(jiàn)解析；（2）△PCE能成為等腰三角形，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）PD=PE，通過(guò)證△DPC≌△EPB，可得結(jié)論
（2）分三種情況討論①當(dāng)PC＝PE＝時(shí)；②當(dāng)PC＝CE＝時(shí)；③當(dāng)PE＝EC時(shí)，可求解．

解:（1）PD=PE，理由如下：

當(dāng)D在AC上時(shí)，連接PC，

因?yàn)椤?/span>ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

當(dāng)D在AC上時(shí)，連接PC，

因?yàn)椤?/span>ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠CBP=45°．

∴∠PCD=∠PBE=135°．

又∵∠DPC+∠DPB=∠DPB+∠BPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE

綜上所述：PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，理由如下：

∵AC＝BC＝2，∠C＝90°

∴AB＝2

∴AP＝BP＝CP＝

△PCE是等腰三角形

當(dāng)PC＝PE＝時(shí)，即B，E重合，BE＝0

當(dāng)PC＝CE＝時(shí)，且E在線段BC上，則BE＝2﹣

當(dāng)PC＝CE＝時(shí)，且E在線段BC的延長(zhǎng)線上，則BE＝2+

當(dāng)PE＝EC，且∠PCB＝45°

∴∠PEC＝90°

∴EC＝1

∴BE＝1