Question

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求直徑AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BC，要證明DE是⊙O的切線只要證明OD⊥DE即可，根據已知條件可以證明OD⊥BC；
（2）由（1）可得四邊形CFDE為矩形，從而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的長．

解答：（1）證明：如圖，連接OD，BC；
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D為弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：設BC與DO交于點F，
由（1）可得四邊形CFDE為矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

122+162

=20．

點評：本題主要考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證它們垂直即可解決問題．