取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖(1)；

第二步：再把B點(diǎn)折疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，得Rt△，如圖(2)；

第三步：沿折疊得折痕EF，如圖(3)．利用展開圖(4)研究：

(1)△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；

(2)對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說明理由．

如圖，已知點(diǎn)M是正方形ABCD的邊AB上的任意一點(diǎn)，MN⊥DM，與∠ABC外角的平分線交于N．

MD與MN是否相等？說明你的理由．

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)，只要善于觀察、樂于探索，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．問題的提出：四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積有何關(guān)系？你能探索出結(jié)論嗎？

(1)為了更直觀的發(fā)現(xiàn)問題，我們不妨先在特殊的四邊形——平行四邊形中，研究這個(gè)問題：已知：在□ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(如圖①)求證：S_△OBC·S_△OAD＝S_△OAB·S_△OCD．

(2)有了(1)中的探索過程作參照，你一定能類比出一般四邊形(如圖②)中，解決問題的辦法了吧！填寫結(jié)論并寫出證明過程．

已知：在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)．(如圖②)

求證：________．

證明：

(3)在三角形中(如圖③)，你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，用文字?jǐn)⑹瞿銡w納出的結(jié)論，并寫出已知、求證和證明過程；若不能，說明理由．

已知，如圖(1)，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF，AG，與直線BC相交，易證FG＝(AB＋BC＋AC)．若(1)BD，CE分另是△ABC的內(nèi)角平分線，(如圖(2))；(2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖(3))，則在圖(2)，圖(3)兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(a)位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(b)的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(c)的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

如圖①，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點(diǎn)M，BD交AE于點(diǎn)N你能說明(1)肋＝CE；(2)BD⊥CE嗎？

若將圖①中的△ABC繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到不同的位置，形成圖②、③、④．上面的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明之．

是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的不等式1＋＞＋與＜x＋1的解相同，如果存在，求出m的整數(shù)值和不等式的解集；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

在△ABC中，AD是中線，O為AD的中點(diǎn)，直線l過O點(diǎn)，過A、B、C三點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為G、E、F．當(dāng)直線l繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與AD垂直時(shí)(如圖1)，易證：BE＋CF＝2AF．

當(dāng)直線l繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與AD不垂直時(shí)，在圖2、圖3兩種情況下，線段BE、CF、AG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)圖3的猜想給予證明．