“智慧”數(shù)學(xué)小組在課外數(shù)學(xué)活動(dòng)中研究了一個(gè)問題，請(qǐng)幫他們解答．

任務(wù)一：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為矩形，連接CG．

（1）請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng)是______．

（2）如圖2，當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）至點(diǎn)G落在邊AB上時(shí)，請(qǐng)計(jì)算DF與CG的長(zhǎng)，通過計(jì)算，試猜想DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置時(shí)，（2）中DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？請(qǐng)說明理由．

任務(wù)二：“智慧”數(shù)學(xué)小組對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究，如圖4，在ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為平行四邊形，連接CG．“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系．

（4）如圖5，當(dāng)AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)），其他條件不變時(shí)，“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系．

問題情境

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究“平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．

操作發(fā)現(xiàn)

以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

繼續(xù)探究

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)．

①求證；

②求點(diǎn)的坐標(biāo)．

拓展探究

（3）如圖①，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

在數(shù)學(xué)中，當(dāng)問題的條件不夠時(shí)間，常添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知的橋梁，從而把原問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題．在著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)教波利亞所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子：試作一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是各條中線長(zhǎng)的三分之一，解決這個(gè)問題的步驟如下：

第一步，如圖1，己知的三條中線，和相交于點(diǎn)，則有．

下面是該結(jié)論的部分證明過程：

證明：如圖1，過點(diǎn)作的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．

又，

∴．

∴．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴．

……

第二步，同理可以證明：．

第三步，如圖2，取BM的中點(diǎn)，連接.則的三邊長(zhǎng)分別是各條中線長(zhǎng)的三分之一．

任務(wù)：（1）請(qǐng)?jiān)谏厦娴谝徊街凶C明過程的基礎(chǔ)上完成對(duì)結(jié)論的證明；

（2）請(qǐng)完成第三步的結(jié)論的證明；

（3）請(qǐng)直接寫出圖2中與的面積比：_______．

【題目】從共享單車，共享汽車等共享出行到共享充電寶，共享雨傘等共享物品，各式各樣的共享經(jīng)濟(jì)模式在各個(gè)領(lǐng)域迅速普及應(yīng)用，越來越多的企業(yè)與個(gè)人成為參與者與受益者．小宇和小強(qiáng)分別對(duì)共享經(jīng)濟(jì)中的“共享出行”和“共享知識(shí)”最感興趣，他們上網(wǎng)查閱了相關(guān)資料，順便收集到四個(gè)共享經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的圖標(biāo)，并將其制成編號(hào)為，，，的四張卡片（除編號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同）他們將這四張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識(shí)”的概率（這四張卡片分別用它們的編號(hào)，，，表示）

（1）當(dāng)降價(jià)0.2元時(shí)，平均每月銷售膠帶______個(gè)；

（2）攤主要想平均每月贏利180元，且盡可能讓利與顧客，應(yīng)該如何定價(jià)？

（3）在（2）的條件下，每個(gè)膠帶的利潤(rùn)率是______．

A. 若 AD 平分∠BAC，則四邊形 AEDF 是菱形

B. 若 BD＝CD，則四邊形 AEDF 是菱形

C. 若 AD 垂直平分 BC，則四邊形 AEDF 是矩形

D. 若 AD⊥BC，則四邊形 AEDF 是矩形

（1）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求證：∠DOQ=∠DPC；

（2）當(dāng)（1）的條件下，求證：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果點(diǎn)P由點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，每秒移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)D向點(diǎn)A移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使得△BOP為直角三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)A(-1，0)，B(4，0)，與軸相交于點(diǎn)C．

（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P（2，m）為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q，連接PC，求線段PQ的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且∠MAP=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元，設(shè)售價(jià)為元．

（1）請(qǐng)用含x的式子表示：①銷售該運(yùn)動(dòng)服每件的利潤(rùn)是 元；②月銷量是 件；（直接寫出結(jié)果）

（2）設(shè)銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)為元，那么售價(jià)為多少時(shí)，當(dāng)月的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形AECF是菱形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．