QQ是一種流行的中文網(wǎng)絡(luò)即時通訊軟件．注冊用戶通過累積“活躍天數(shù)”就可獲得相應(yīng)的等級，如果用戶當天（0：00～24：00）使用QQ在2小時以上（包括2小時），其“活躍天數(shù)”累積為1天．一個新用戶等級升到1級需要5天的“活躍天數(shù)”，這樣可以得到1個星星，此后每升1級需要的“活躍天數(shù)”都比前一次多2天，每升1級可以得到1個星星，每4個星星可以換成一個月亮，每4個月亮可以換成1個太陽．網(wǎng)名是“未來”的某用戶今天剛升到2個月亮3個星星的等級，那么他可以升到1個太陽最少還需經(jīng)過的天數(shù)是______天．

瑞士一位中學(xué)教師巴爾末從光譜數(shù)據(jù)

9

5

，

16

12

，

25

21

，

36

32

…中發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，從而得到了巴爾末公式，繼而打開了光譜奧妙的大門．請你根據(jù)光譜數(shù)據(jù)的前四個數(shù)寫出第n個數(shù)，為______．

用火柴棒按下面的方式搭圖形
（1）把下表填完整：

圖形編號	①	②	③	④	⑤	…
火柴棒根數(shù)	7	12	17			…

（2）第n個圖形需要______根小棒；第10個圖形需要______根小棒．

你吃過拉面嗎？如圖把一個面團拉開，然后對折，再拉開再對折，…，如此往復(fù)下去折5次，會拉出______根面條．

附加題：你能很快計算出1995²嗎？
為了解決這個問題，我們來考察個位為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位為5的自然數(shù)都可以寫成10n+5的形式，于是原題即求（10n+5）²的值．N為自然數(shù)，分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論．
（1）通過計算、探索規(guī)律：15²=100×1（1+1）+25；25²=100×2（2+1）+25；35²=100×3（3+1）+25；45²=______；65²=______；95²=______
（2）從（1）小題的結(jié)果，歸納、猜想得：（10n+5）²=______
（3）根據(jù)上面的歸納、猜想，請計算出1995²=______．

一列數(shù)：0，1，2，3，6，7，14，15，30．____,_____,____這串數(shù)是由小明按照一定規(guī)則寫下來的,他第一次寫下“0，1”,第二次按著寫“2，3”,第三次接著寫“6，7”第四次接著寫“14，15”，就這樣一直接著往下寫，那么這串數(shù)的最后三個數(shù)應(yīng)該是下面的

我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，…就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差．如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2．如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列．例如數(shù)列1，3，9，19，33，…，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，…，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，…是一個二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，…的第五個數(shù)應(yīng)是 _________ ．

你能比較兩個數(shù)2006²⁰⁰⁷和2007²⁰⁰⁶的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪≥1的整數(shù)）．然后從分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計算：比較①～⑦各組兩個數(shù)的大�。ㄔ跈M線上填“＞”“=”“＜”）
①1²（    ）2¹；②2³（    ）3²；③3⁴（    ）4³；④4⁵（    ）5⁴；⑤5⁶（    ）6⁵；
⑥6⁷（    ）7⁶；⑦7⁸（    ）8⁷；
（2）從上面各小題目的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是nⁿ⁺¹（    ）（n+1）ⁿ
（3）根據(jù)上面歸納猜想到的結(jié)論，可以得到2006²⁰⁰⁷（    ）2007²⁰⁰⁶（填“＞”“=”“＜”）

（1）觀察：
1²=1
1+3=2²
1+3+5=3²
……
可得1+3+5+…+（2n-1）=_____________，
如果1+3+5+…+x=361，則奇數(shù)x的值為_____________；
（2）觀察式子：1+3=；
1+3+5=；
1+3+5+7=；
……
按此規(guī)律計算：1+3+5+7+…+2009=_______________。

已知數(shù)據(jù)：

1

3

，

2

5

，

3

7

，

4

9

，…試猜想第n個數(shù)是______（用含n的代數(shù)式表示）．