Question

13．歸納式探究--探究小球沿過山車軌道的運(yùn)動
小雨觀察到游樂場的過山車可以底朝上在圓形軌道上運(yùn)動，游客卻不會掉下來．他想探索其中的奧秘，做了以下兩個(gè)探究：

（1）探究一：如圖甲所示，小球由A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動到B點(diǎn)，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與高度h和小球質(zhì)量m的關(guān)系，數(shù)據(jù)如表一．
表一：

實(shí)驗(yàn)次數(shù)	h/m	m/kg	v2/（m2•s-2）
1	0.2	2.0×10-2	4.0
2	0.4	2.0×10-2	8.0
3	0.4	3.0×10-2	8.0
4	0.8	2.5×10-2	16.0

則小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與高度h有關(guān)，且v²=k₁h．
探究二：如圖乙所示，小球以一定速度從B點(diǎn)沿光滑的豎直圓形軌道運(yùn)動，恰好通過最高點(diǎn)C．小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系，數(shù)據(jù)如表二．

實(shí)驗(yàn)次數(shù)	r/m	v2/（m2•s-2）
1	0.15	7.5
2	0.30	15.0
3	0.45	22.5

則小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系式為v²=50m/s²×r．
（3）如圖丙所示，將甲、乙兩軌道組合后，小球從A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動，若r=0.4m，要使小球經(jīng)過B點(diǎn)后能恰好通過C點(diǎn)，則h=1m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)控制變量法分析1、2次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度的關(guān)系，分析2、3次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度與質(zhì)量的關(guān)系；
（2）分析表格中r和v²倍數(shù)的變化關(guān)系得出兩者之間關(guān)系的表達(dá)式；
（3）由表一數(shù)據(jù)得出k₁的值，根據(jù)前面的表達(dá)式得出要使小球經(jīng)過B點(diǎn)后能恰好通過C點(diǎn)時(shí)的高度．

解答 解：（1）表格一：
由1、2次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量相同時(shí)，下滑的高度越高到達(dá)B點(diǎn)速度的平方越大，且小球下落高度的倍數(shù)和到達(dá)B點(diǎn)速度平方的倍數(shù)相等，即小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v的平方與高度h成正比；
由2、3次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，小球下滑的高度相同時(shí)，質(zhì)量不同的小球到達(dá)B點(diǎn)速度的平方相等，則小球到達(dá)B點(diǎn)的速度與小球的質(zhì)量無關(guān)，
綜上可知，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度v與高度h有關(guān)，且v²=k₁h．
（2）表格二：
由三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，軌道半徑的變化數(shù)據(jù)和v²的變化倍數(shù)相等，則小球在B點(diǎn)的速度v²與軌道半徑r成正比，設(shè)為v²=kr，
把v²=7.5m²/s²、r=0.15m代入可得，k=50m/s²，
小球在B點(diǎn)的速度v與軌道半徑r的關(guān)系式為v²=50m/s²×r；
（3）由表格一數(shù)據(jù)可知，當(dāng)v²=4.0m²/s²時(shí)h=0.2m，
則k₁=$\frac{{v}^{2}}{h}$=$\frac{4.0{m}^{2}/{s}^{2}}{0.2m}$=20m/s²，
小球從A點(diǎn)沿光滑軌道自由運(yùn)動，恰好通過C點(diǎn)時(shí)，
由v²=50m/s²×r可得，B點(diǎn)的速度平方：
v_B²=50m/s²×r=50m/s²×0.4m=20m²/s²，
由v²=k₁h可得，小球下落的高度：
h_B=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{20{m}^{2}/{s}^{2}}{20m/{s}^{2}}$=1m．
故答案為：
（1）高度h；h；
（2）v²=50m/s²×r；
（3）1m．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論并利用結(jié)論解決問題的能力，利用好控制變量法得出各量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．