Question

17．如圖所示的連通器豎直高度為h，粗管橫截面積為S，半徑是細管的2倍，橫管長為L，粗細與細管一樣，先把體積為V的水銀（ρ_水銀）注入連通器內(nèi)，再從粗管一端灌水（ρ_水），求灌滿粗管中水銀下降高度△h的表達式．

Answer 1

分析 （1）由于粗管半徑是細管的2倍，粗管面積是細管的4倍，則細管上升的高度是粗管下降高度的$\frac{1}{4}$，先計算注入水銀后，兩管中水銀的高度h₀；
（2）粗管中注入水后，粗管中水銀下降的體積與細管中上升體積相等，由△V=Sh表示出細管上水銀上升高度，從而計算出兩管中水銀的高度差△H和注入水的高度；
（3）兩管中水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強與注入水柱產(chǎn)生的壓強相等，即p_水=p_水銀．然后我們再利用壓強計算公式p=ρgh，計算出灌滿后粗管中水銀下降高度△h．

解答 解：
（1）因為粗管橫截半徑是細管的2倍，粗管橫截面積為S，則細管面積為$\frac{S}{4}$，
連通器注入同種液體，液體靜止時液面相平，注入體積為V的水銀后，設兩管中水銀高度為h₀，
則有：V_細+V_橫+V_粗=V，即：$\frac{S}{4}$•h₀+$\frac{S}{4}$•L+Sh₀=V，
解得：h₀=$\frac{4V-SL}{5S}$，
（2）粗管中注入水后，粗管中水銀下降，細管中水銀上升，
且△V_下降=△V_上升，即：S•△h=$\frac{S}{4}$•△h_細，
所以△h_細=4△h，
此時兩管中水銀高度差為△H=△h+4△h=5△h，
所以注入水的高度h_水=h-（h₀-△h）=h-（$\frac{4V-SL}{5S}$-△h）=h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$，
（3）水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強與注入水柱產(chǎn)生的壓強相等，即：p_水=△p_水銀，
則：ρ_水gh_水=ρ_水銀g△H，
1.0×10³kg/m³×g×（h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$）=13.6×10³kg/m³×g×5△h，
解得：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．
答：水灌滿粗管，水銀下降高度△h的表達式為：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．

點評 解答本題時，一定要找出題中的等量關系．本題中的等量關系有：一、粗管中水銀下降體積等于細管中水銀上升體積；二、粗管中水銀柱下降的高度與細管中水銀柱上升的高度之和等于兩管水銀柱的高度差；三、注入水柱產(chǎn)生的壓強與兩管水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強相等．還要注意粗管與細管的橫截面積關系．