Question

10．歸納式探究一研究彈簧的剛性系數(shù)
我們知道．彈簧受到的拉力越大．彈簧伸長的長度就越大，但用同樣大小的力去拉兩只不同的彈簧．伸長的長度不同．這說明彈簧有“軟“、“硬”之分．容易被拉伸的彈簧比較軟．反之比較硬．彈簧的軟硬用它的剛性系數(shù)來表示．剛性系數(shù)越大，彈簧越硬．
為了研究彈簧的剛性系數(shù)與哪些因素有關(guān)．通過有關(guān)實(shí)驗(yàn)探究．取得數(shù)據(jù)如表（其中．S為制造彈簧的金屬絲的橫載面積，n為彈簧的匝數(shù)，r為彈簧的半徑，A為彈簧的剛性系數(shù)．

實(shí)驗(yàn)次數(shù)	材料	S/m2	n	r/m	A （N•m-1）
1	銅	3×10-6	100	1×10-2	90
2	鋼	3×10-6	100	1×10-2	180
3	鋼	6×10-6	100	1×10-2	360
4	鋼	3×10-6	200	1×10-2	90
5	銅	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，其中k與制造彈簧的材料有關(guān)．材料不同，k值一般不同，上述實(shí)驗(yàn)中鋼的k_鋼=2×10⁹N/m²（填上數(shù)值和單位）．由數(shù)裾形式變?yōu)楣�式形式運(yùn)用了物理學(xué)中的等價(jià)變換法．
（2）用粗細(xì)相同的銅絲做成半徑相同但匝數(shù)不同的彈簧，則彈簧的剛性系數(shù)和匝數(shù)的關(guān)系可以用圖象中的圖線a表示．
（3）用橫截面積9×10^-6m²的鋼絲制成一個(gè)60匝，剛性系數(shù)為100N/m的彈簧．則該彈簧的半徑為3×10^-2m．

Answer 1

分析 （1）實(shí)驗(yàn)中主要有四個(gè)變量，分別為材料、橫截面積、彈簧匝數(shù)和彈簧的半徑，根據(jù)控制變量法的要求，分別比較第2、4行數(shù)據(jù)，3、5行數(shù)據(jù)，4、6行數(shù)據(jù)，可分析出橫截面積、彈簧匝數(shù)和彈簧的半徑與A的關(guān)系，最終歸納出表達(dá)式，再利用表達(dá)式可計(jì)算出鋼的k值，這種方法叫做等價(jià)變換法；
（2）通過剛性系數(shù)的表達(dá)式，可以看出，在其他條件相同時(shí)，彈簧的匝數(shù)越多，其剛性系數(shù)越小，因此，b是符合題意的；
（3）利用歸納得出的公式，將數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算可得出彈簧的半徑．

解答 解：
（1）根據(jù)控制變量法的要求，比較第2、4行數(shù)據(jù)可得，橫截面積S之比的平方，等于剛性系數(shù)A之比；比較第3、5行數(shù)據(jù)可得，彈簧的匝數(shù)n擴(kuò)大一倍，剛性系數(shù)A減小一半；比較第4、6行數(shù)據(jù)可得，彈簧的半徑r之比的立方，等于剛性系數(shù)A之比．綜合以上分析可得，A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；
選擇第2次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入公式A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$得：
180N/m=k•$\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}{m}^{2}）^{3}}$，
解得k=2×10⁹N/m²；
將數(shù)據(jù)變?cè)诠�式，這種方法叫做等價(jià)變換法．
（2）觀察圖象可知，a為成正比圖象，b是A隨彈簧匝數(shù)n的增加而減小，故圖象b與研究的數(shù)據(jù)結(jié)果相符；
（3）由剛性系數(shù)的公式變形得，r=$\root{3}{\frac{K{S}^{2}}{An}}$，代入數(shù)據(jù)解得，r=$\root{3}{\frac{2×1{0}^{9}N/{m}^{2}}{100N/m×60}}$=3×10^-2m．
故答案為：（1）$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；2×10⁹N/m²；等價(jià)變換；（2）2×10⁹N/m²；（3）3×10^-2m．

點(diǎn)評(píng) 本實(shí)驗(yàn)中的變量比較多，在分析數(shù)據(jù)時(shí)，必須在保證其他變量不變的情況下，依次分析其中的一個(gè)變量與剛性系數(shù)之間的關(guān)系，最終綜合成公式的形式，這種歸納研究的方法稱為等價(jià)變換；有了剛性系數(shù)的公式，剩余的問題基本要從公式入手進(jìn)行分析和計(jì)算．