Question

4．如圖所示，在上端開口的圓柱形容器中盛有適量水，水中放置一圓柱體，圓柱體高H=0.6m，密度ρ_柱=3.0×10³kg/m³，其上表面距水面L=1m，容器與圓柱體的橫截面積分別為S_面=3×10^-2m²，和S_柱=1×10^-2m²，現(xiàn)將繩以v=0.1m/s的速度豎直向上勻速提升圓柱體，直至離開水面，已知水的密度ρ_水=1.0×10³kg/m³，g取10N/kg，水的阻力忽略不計．
（1）在圓柱體從開始運動到上表面剛露出水面過程中，求繩拉力對圓柱體做的功；
（2）在圓柱體上表面剛露出水面到其底面離開水面過程中，求繩的拉力隨時間變化關(guān)系式；
（3）在給出的坐標紙上畫出（2）中繩的拉力的功率P隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）先求出圓柱體的體積，根據(jù)密度公式求出圓柱體的質(zhì)量，根據(jù)G=mg求出重力，圓柱體完全浸沒時排開水的體積和自身的體積相等，根據(jù)阿基米德原理求出受到的浮力，圓柱體的重力減去受到的浮力即為繩子的拉力，利用W=Fs求出繩拉力對圓柱體做的功；
（2）從圓柱體上表面剛露出水面時開始計時，根據(jù)v=$\frac{s}{t}$得出時間t內(nèi)圓柱體重物上升的高度，再根據(jù)體積公式物體上升時引起液面下降的高度，從而得出圓柱體排開水的體積，根據(jù)阿基米德原理表示出圓柱體受到的浮力，然后得出繩的拉力，從而得出答案；
（3）當(dāng)圓柱體離開水面時，排開水的體積為零，據(jù)此求出圓柱頭疼離開水面的時間，然后根據(jù)P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv求出這段時間內(nèi)拉力的功率，當(dāng)圓柱體離開水面時繩子的拉力和自身的重力相等，根據(jù)P=Fv求出此時的功率，據(jù)此作出繩的拉力的功率P隨時間變化的圖象．

解答 解：（1）圓柱體的體積：
V_柱=S_柱H=1×10^-2m²×0.6m=6×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，圓柱體的質(zhì)量：
m_柱=ρ_柱V_柱=3.0×10³m³×6×10^-3m³=18kg，
圓柱體的重力：
G=m_柱g=18kg×10N/kg=180N，
圓柱體完全浸沒在水中，排開水的體積：
V_排=V_柱=6×10^-3m³，
受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6×10^-3m³=60N，
則繩拉力對圓柱體的拉力：
F_拉=G-F_浮=180N-60N=120N，
繩拉力對圓柱體做的功：
W=F_拉L=120N×1m=120J；
（2）從圓柱體上表面剛露出水面時開始計時，
由v=$\frac{s}{t}$可得，在時間為t時，圓柱體重物上升的高度：
h=vt=0.1m/s×t，
設(shè)水面下降的高度為h₀，則
h₀（S_面-S_柱）=hS_柱，即h₀（3×10^-2kg/m²-1×10^-2kg/m²）=0.1m/s×t×1×10^-2kg/m²，
解答，h₀=0.05m/s×t，
所以，圓柱體排開水的體積：
V_排′=H•S_柱-（h+h₀）•S_柱
=6×10^-3m³-（0.1m/s×t+0.05m/s×t）×1×10^-2kg/m²
=6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t，
圓柱體受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_排′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×[6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t]=60N-15N/s×t，
繩的拉力：
F_拉′=G-F_浮′=180N-（60N-15N/s×t）=120N+15N/s×t，
（3）當(dāng)圓柱體離開水面時，排開水的體積為零，
則V_排′=H•S_柱-（h+h₀）•S_柱=0，即6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t=0，
解得：t=4s，
在0～4s內(nèi)，由P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv可得，拉力的功率：
P=F_拉′v=（120N+15N/s×t）×0.1m/s=12W+1.5W/s×t，
4s以后，拉力的功率：
P=F_拉″v=Gv=180N×0.1m/s=18W，
繩的拉力的功率P隨時間變化的圖象，如下圖所示：

答：（1）在圓柱體從開始運動到上表面剛露出水面過程中，繩拉力對圓柱體做的功為120J；
（2）在圓柱體上表面剛露出水面到其底面離開水面過程中，繩的拉力隨時間變化關(guān)系式為F_拉=120N+15N/s×t；
（3）繩的拉力的功率P隨時間變化的圖象如上圖所示．

點評 本題考查了密度公式和重力公式、阿基米德原理、做功功率、功率公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是會計算物體上升時引起液面下降的計算．