Question

12．巧測一高度為L的薄壁瓶子的容積，如圖所示，用刻度尺測出瓶底的直徑D，瓶口朝上倒入一部分水，測出水面高度L₁，然后再堵住瓶口，將瓶子倒置，再測出水面離瓶底高度L₂，求證該瓶的容積V=$\frac{1}{4}$πD²（L₁+L₂）．

Answer 1

分析 雖然酒瓶的形狀不規(guī)則，但是瓶子的下部可視圓柱體，由于瓶子的容積V_瓶不變，瓶中水的體積V_水也不變，可將上部分不規(guī)則的空氣體積V_空，用倒置后上部分規(guī)則的空氣體積V_空來代替．

解答 解：因?yàn)槠孔拥牡酌娣e為S=$\frac{π{D}^{2}}{4}$，
瓶中水的體積V_水=SL₁=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$，
瓶中空氣體積V_空=SL₂=$\frac{π{D}^{2}{L}_{2}}{4}$，
所以酒瓶的容積為V=V_水+V_空=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$+$\frac{π{D}^{2}{L}_{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$πD²（L₁+L₂）．

點(diǎn)評 本題考查特殊的測量方法，關(guān)鍵是利用等效替換法測量形狀不規(guī)則部分體積，即把瓶子正放、倒放結(jié)合起來得到水的體積和空著部分的體積．