Question

8．要用大理石建造一座結(jié)構(gòu)大體如圖所示的紀念碑，設計時必須考慮它對地基的壓強，假如你是設計師：

（1）說出你要搜集哪些數(shù)據(jù)（同時用字母表示搜集的數(shù)據(jù)）來估測它對地基的壓強？
（2）寫出估測紀念碑對地基壓強的表達式p=$\frac{ρg（{a}_{1}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$（用搜集的數(shù)據(jù)的字母表示）．

Answer 1

分析 要估測紀念碑對地基的壓強，根據(jù)壓強定義式可知，需要找到地基受到的壓力和受力面積；分析整個紀念碑的組成，明確地基所受的壓力等于碑體和基座的總重力，受力面積為基座與地基的接觸面積；結(jié)合密度、重力、壓強知識可確定需要搜集的數(shù)據(jù)、推導出紀念碑對地基壓強的表達式．

解答 解：（1）整個紀念碑是由碑體和基座兩部分組成，如圖所示：

地基所受的壓力等于碑體和基座的總重力，它們的總重力不便于測出；由于碑體和基座均為長方體，結(jié)合密度知識可知，若能收集到大理石的密度、間接測出碑體和基座的體積，就能估測它們的總質(zhì)量、總重力；要測碑體和基座的體積，需要測出碑體和基座各自的長、寬、高（同時也可以算出底面積）；
綜上分析可知，需收集的數(shù)據(jù)有：大理石的密度ρ，基座的長a、寬b、高h，碑體的長a₁、寬b₁、高h₁．
（2）根據(jù)G=mg=ρVg可得，碑體的重力為：G_碑=ρV_碑g=ρS_碑h₁g=ρa₁b₁h₁g，
同理可得基座的重力：G_座=ρV_座g=ρabhg，
整個紀念碑對地面的壓力：F=G_碑+G_座=ρa₁b₁h₁g+ρabhg=ρg（a₁b₁h₁+abh）；
受力面積為基座與地基的接觸面積，即S=ab；
則紀念碑對地基壓強的表達式為：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρg（{a}_{1}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$．
答：（1）要搜集的數(shù)據(jù)有：大理石的密度ρ，基座的長a、寬b、高h，碑體的長a₁、寬b₁、高h₁；
（2）p=$\frac{ρg（{a}_{1}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$．

點評 本題考查了估測紀念碑對地基的壓強問題，涉及了重力和密度的知識，難度較大；關鍵要知道整個紀念碑是由碑體和基座兩部分組成，難點對壓力和受力面積的判斷．