Question

【題目】如圖所示，半徑R=1m的光滑半圓軌道AC與高h(yuǎn)=8R的粗糙斜面軌道BD放在同一豎直平面內(nèi)，BD部分水平長(zhǎng)度為x=6R．兩軌道之間由一條光滑水平軌道相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過(guò)渡．在水平軌道上，輕質(zhì)彈簧被a、b兩小球擠壓（不連接），處于靜止?fàn)顟B(tài)．同時(shí)釋放兩個(gè)小球，a球恰好能通過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)A，b球恰好能到達(dá)斜面軌道最高點(diǎn)B．已知a球質(zhì)量為m1=2kg，b球質(zhì)量為m2=1kg，小球與斜面間動(dòng)摩擦因素為μ= ，重力力加速度為g=10m/s2 ． （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能Ep．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a球恰好能到達(dá)A點(diǎn)，重力提供向心力，有：

m1g=m1

a球從C到A的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：

m1vC2﹣ m1vA2=m1g2R

得，小球a經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度：vC= =5 m/s

在C點(diǎn)，以a球?yàn)檠芯繉?duì)象，由牛頓第二定律得：

N﹣m1g=m1

聯(lián)立解得：N=6m1g=120N

由牛頓第三定律知，a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．

答：a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．

（2）解：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知斜面的傾角為53°，長(zhǎng)度為10R．

對(duì)于b球沿斜面上滑的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

0﹣ m2vb2=﹣m2g8R﹣μm2gcos53°10R

代入數(shù)據(jù)得：vb=10 m/s

彈簧釋放的過(guò)程，對(duì)于系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：

Ep= m1vC2+ m2vb2

代入數(shù)據(jù)得：Ep=150J

答：釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能Ep是150J．

【解析】（1）根據(jù)小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件，求出在最高點(diǎn)的速度，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，再結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力等于向心力，列式求解。
（2）先根據(jù)幾何知識(shí)求出斜面的傾角再利用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律，聯(lián)立求解彈簧的彈性勢(shì)能。