Question

9．如圖所示，高為1.3m，底面積分別為0.15m²和0.05m²的甲、乙兩個輕質(zhì)薄壁圓柱形容器在下部用輕質(zhì)細(xì)管連通后方在水平地面上，且容器內(nèi)盛有1m深的水，若將一體積為0.04m³的實心小球慢慢地放到甲容器中的水里（注：細(xì)管內(nèi)的水忽略不計，已知ρ_球=1×10³kg/m³，g=10N/kg），求：
（1）放入小球前水對甲容器底部的壓強(qiáng)p_甲；
（2）球在水中靜止時受到的浮力；
（3）球在水中靜止時，甲乙整個容器對水平地面的壓強(qiáng)；
（4）球在水中靜止時，水對乙容器底部壓力的增加量△F_乙．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度和密度，利用p=ρgh計算水對甲容器底部的壓強(qiáng)p_甲．
（2）首先比較小球和水的密度，得出小球在水中不動時的狀態(tài)，根據(jù)懸浮條件即可求出浮力；
（3）求出容器里水的重力，根據(jù)小球排開水的體積，利用V=Sh求出水面上升的高度，與容器的高度比較得出水沒有溢出，由此判斷容器對地面的壓力，利用p=$\frac{F}{S}$即可求出壓強(qiáng)；
（4）由于得出水面上升的高度，再利用G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$求出乙容器增加的水的重力，即可得到水對乙容器底部壓力的增加量△F_乙．

解答 解：
（1）水對甲容器底部的壓強(qiáng)：p_甲=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m=1×10⁴Pa；
（2）因為ρ_球=ρ_水，
所以，若將一體積為0.04m³的實心小球慢慢地放到甲容器中的水里，小球在水中不動時處于懸浮狀態(tài)，
則F_浮=G_球=ρ_球gV_球=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.04m³=400N；
（3）整個容器里水的重力為G_水=m_水g=ρ_水gV_水=ρ_水g（S_甲+S_乙）h_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.15m²+0.05m²）×1m=200N；
由于小球在水中懸浮，則V_排=V=0.04m³，
所以，水面應(yīng)升高的高度：△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{甲}+{S}_{乙}}$=$\frac{0.04{m}^{3}}{0.15{m}^{2}+0.05{m}^{2}}$=0.2m，
此時水的深度h′=h+△h=1m+0.2m=1.2m＜1.3m，水沒有溢出；
整個容器對地面的壓力F=G=G_水+G_球=200N+400N=600N，
則p=$\frac{F}{S}$=$\frac{600N}{0.15{m}^{2}+0.05{m}^{2}}$=3000Pa；
（4）乙容器中增大的水的體積：△V_水=S_乙△h=0.05m²×0.2m=0.01m³，
根據(jù)G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$可得，增加的水的重力：
△G=△mg=ρ_水△V_水g=1.0×10³kg/m³×0.01m³×10N/kg=100N，
因為乙容器為直壁容器，
所以，水對乙容器底部壓力的增加量△F_乙=△G=100N．
答：（1）水對甲容器底部的壓強(qiáng)p_甲為1×10⁴Pa；
（2）直到小球在水中不動為止，水對乙容器底部壓力的增加量△F_乙為100N．

點評 此題考查液體壓強(qiáng)計算、物體浮沉條件及其應(yīng)用、重力和密度公式的應(yīng)用等，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，難點在（4），關(guān)鍵是知道直壁型容器中液體對容器底的壓力等于液體的重力．