Question

3．演繹式探究--機(jī)械能守恒
（1）用線繩拴一個(gè)小球繞圓心O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，繩對(duì)球有一個(gè)指向圓心的拉力，此力叫向心力．向心力的大小F_心與小球的質(zhì)量m成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑r成反比，與轉(zhuǎn)動(dòng)速度v的關(guān)系如圖1所示．已知比例系數(shù)k為l，則向心力的數(shù)學(xué)表達(dá)式：F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．
（2）物體的動(dòng)能大小公式為E_k=$\frac{1}{2}$mv²，重力勢(shì)能的公式為E_P=mgh．如果讓質(zhì)量為m的小球在豎直的平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)中小球的機(jī)械能守恒．在某個(gè)速度v₀下，可以讓小球轉(zhuǎn)到最頂端時(shí)，繩子的拉力為零，此時(shí)小球的重力充當(dāng)了向心力，即：向心力大小等于物體的重力．請(qǐng)證明：小球繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度v²=5gr．

Answer 1

分析 （1）向心力的大小F_心與小球的質(zhì)量m成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R成反比，與轉(zhuǎn)動(dòng)速度v²成正比．
（2）小球轉(zhuǎn)到最頂端時(shí)，繩子的拉力為零，此時(shí)F=G，根據(jù)向心力公式可以求出此時(shí)的速度，再求出此時(shí)小球的動(dòng)能和機(jī)械能，根據(jù)機(jī)械能守恒求出求出到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．

解答 解：（1）根據(jù)圖象知，向心力F與v成二次函數(shù)關(guān)系，故與轉(zhuǎn)動(dòng)速度v²成正比，向心力的大小F_心與小球的質(zhì)量m成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑r成反比，故可得關(guān)系式為：F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$；
（2）小球轉(zhuǎn)到最頂端時(shí)，繩子的拉力為零，此時(shí)小球的重力充當(dāng)了向心力，設(shè)小球此時(shí)的速度為v'，則G=F=m$\frac{{v'}^{2}}{r}$，則v'²=$\frac{Gr}{m}$=$\frac{mgr}{m}$=gr；
此時(shí)的動(dòng)能為：E_k=$\frac{1}{2}$mv'²=$\frac{1}{2}$mgr，重力勢(shì)能為：E_P=mgh=mg2r；機(jī)械能為：E=$\frac{1}{2}$mgr+mg2r=$\frac{5}{2}$mgr；
小球到達(dá)最底端時(shí)，此時(shí)的重力勢(shì)能為0，由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv²=E=$\frac{5}{2}$mgr，解得：v²=5gr．
故答案為：（1）m$\frac{{v}^{2}}{r}$；（2）見解析．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球的機(jī)械能總量不變，小球任意位置的機(jī)械能都等于初位置和最高點(diǎn)的機(jī)械能．