Question

（2009?海淀區(qū)二模）如圖所示為一種蓄水箱的放水裝置，AOB是以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸的輕質(zhì)杠桿，AO呈水平狀態(tài)，A、O兩點(diǎn)間距離為40cm，B、O兩點(diǎn)的水平距離為10cm，B、O兩點(diǎn)的豎直距離為7cm．A點(diǎn)正下方的Q是一個(gè)重為5N、橫截面積為200cm²的蓋板（蓋板恰好能堵住出水口），它通過(guò)細(xì)繩與杠桿的A端相連．在水箱右側(cè)的水平工作臺(tái)上，有一質(zhì)量為60kg的人通過(guò)滑輪組拉動(dòng)系在B點(diǎn)呈豎直狀態(tài)的繩子，從而可以控制水是否能從出水口流出．若水箱中水深為50cm，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，人對(duì)繩子的拉力為F₁，工作臺(tái)對(duì)人的支持力為F_N1；若水箱中水深為100cm，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，人對(duì)繩子的拉力為F₂，工作臺(tái)對(duì)人的支持力為F_N2．已知F_N1與F_N2之比為69：77，蓋板的厚度、繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計(jì)，人對(duì)繩的拉力與人所受重力在同一直線上，取g=10N/kg．求：
（1）當(dāng)水箱中水深為50cm時(shí)，蓋板上表面所受水產(chǎn)生的壓強(qiáng)；
（2）人對(duì)繩子的拉力F₁的大��；
（3）若與杠桿A、B兩端連接的細(xì)繩足夠結(jié)實(shí)，而人拉滑輪組的繩子所能承受的最大拉力為330N，則為能實(shí)現(xiàn)使用圖中的裝置放水，水箱中水的最大深度不得超過(guò)多少？

Answer 1

分析：（1）已知水的密度和深度，利用公式p=ρgh得到蓋板上表面受到水的壓強(qiáng)；
（2）（3）分別以蓋板、動(dòng)滑輪和人為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，根據(jù)合力為零和杠桿平衡條件列出等量關(guān)系式求解拉力的大小．

解答：已知：h₁=50cm=0.5m  ρ=1.0×10³kg/m³  g=10N/kg   S=0.02m²  G_板=5N  l_A=40cm=0.4m  l_B=10cm=0.1m  h₂=100cm=1m   F_N1：F_N2=69：77
求：（1）p=？（2）F₁=？（3）h_最大=？
解：（1）蓋板上表面所受水產(chǎn)生的壓強(qiáng)
p₁=ρ_水gh₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.5m=5000Pa．
（2）蓋板、動(dòng)滑輪和人的受力情況如下圖：

水深h₁=50cm時(shí)，蓋板受到水產(chǎn)生的壓力
F_Q1=P₁S=5000Pa×0.02m²=100N．
當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，受力情況如圖甲所示．根據(jù)平衡條件，可知A端繩的拉力F_A1=F_Q1+G_板=100N+5N=105N．
此時(shí)作用在杠桿A端的拉力F'_A1=F_A1=105N．
根據(jù)杠桿平衡條件可知，此時(shí)作用在B端繩上的拉力F_B1=

IA

IB

?F′_A1=

0.4m

0.1m

×105N=420N．
根據(jù)力的作用的相互性可知，此時(shí)連接B端的繩對(duì)動(dòng)滑輪C的作用力F_C1=F_B1=420N．
設(shè)動(dòng)滑輪所受重力為G_動(dòng)，其受力情況如圖乙所示，根據(jù)平衡條件對(duì)動(dòng)滑輪應(yīng)有5F₁=F_C1+G_動(dòng)．
此時(shí)人的受力情況如圖丙所示，因F₁=F'₁，根據(jù)平衡條件對(duì)人有
F_N1=G_人+F₁-m_人g+

1

5

（F_C1+G_動(dòng)）
同理，當(dāng)水深h₂=100cm時(shí)，蓋板受到水產(chǎn)生的壓力
F_Q2=p₂S=ρ_水gh₂S=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m×0.02m²=200N．
當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，繩對(duì)杠桿A端繩的拉力F'_A2=F_A2=F_Q2+G_板=200N+5N=205N．
此時(shí)作用在B端繩上的拉力F_B2=

lA

lB

?F′_A2．=

0.4m

0.1m

×205N=820N
作用在動(dòng)滑輪C下端的作用力F_C2=F_B2=820N．
根據(jù)平衡條件對(duì)動(dòng)滑輪應(yīng)有5F₂=F_C2+G_動(dòng)．
此時(shí)繩對(duì)人的拉力F'₂=F₂，所以根據(jù)平衡條件對(duì)人有F_N2=G_人+F′₂=m_人g+

1

5

（F_C2+G_動(dòng)）
依題意知F_N1：F_N2=69：77，聯(lián)立可解得G_動(dòng)=30N．
所以F₁=

1

5

（F_C1+G_動(dòng)）=

1

5

（420N+30N）=90N．
（3）設(shè)拉力F₃=330N時(shí)，水箱中水的最大深度為h₃時(shí)蓋板恰好能被拉起．
通過(guò)上述分析可知，此時(shí)作用在動(dòng)滑輪C下端的力
F_C3=5F₃-G_動(dòng)=5×330N-30N=1620N．
此時(shí)作用在杠桿A端的拉力F′_A3=

IB

IA

?F_C3=

0.1m

0.4m

×1620N=405N．
根據(jù)平衡條件可知，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)A端繩對(duì)它的拉力
F_A3=F_Q3+G_板=F'_A3，因?yàn)镕_Q3=ρ_水gh₃S，所以可解得
h₃=

FA3-G板

ρ水gS

=

405N-5N

103kg/m3×10N/kg×0.02m2

=2m．
答：
（1）蓋板上表面所受水產(chǎn)生的壓強(qiáng)為5000Pa．
（2）人對(duì)繩子的拉力F₁為90N．
（3）水箱中水的最大深度不得超過(guò)2m．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道難題，對(duì)物體正確受力分析、作出受力示意圖、應(yīng)用杠桿平衡條件、力的平衡條件是正確解答后面兩小題的關(guān)鍵．