Question

（2009?海淀區(qū)一模）如圖所示，底面積為S₁的圓柱形容器中裝有未知密度的液體．將一密度為ρ的正方體金屬塊放入底面積為S₂的長(zhǎng)方體塑料盒中（塑料盒的厚度可忽略不計(jì)），塑料盒漂浮在液面上（液體不會(huì)溢出容器），其浸入液體的深度為h₁．若把金屬塊從塑料盒中取出，用細(xì)線系在塑料盒的下方，放入液體中，金屬塊不接觸容器，塑料盒浸入液體的深度為h₂．剪斷細(xì)線，金屬塊會(huì)沉到容器的底部，塑料盒漂浮在液面上，其浸入液體的深度為h₃．若塑料盒始終處于如圖所示的直立狀態(tài)而未發(fā)生傾斜，則細(xì)線剪斷前、后液體對(duì)圓柱形容器底部的壓強(qiáng)減小了

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．

Answer 1

分析：盒子漂浮時(shí)，所受浮力等于正方體重力和盒子重力之和，根據(jù)此關(guān)系列出等式；同理連上細(xì)線后正方體在液體中也受到浮力；在剪斷細(xì)線后盒子所受浮力等于重力；根據(jù)等式求出此時(shí)容器底所受的壓強(qiáng)，進(jìn)一步求出剪斷細(xì)線后所受的壓強(qiáng)，從而求出減少的壓強(qiáng)．

解答：解：設(shè)正方體體積為V₁，設(shè)液體密度為ρ₀，
則正方體重力和盒子重力之和等于盒子所受浮力
即：ρgV₁+G_盒=ρ₀gS₂h₁…①
同理連上細(xì)線后正方體在液體中也受到浮力，則
ρgV₁+G_盒=ρ₀gS₂h₂+ρ₀gV₁…②
在剪斷細(xì)線后盒子所受浮力等于重力，則
G_盒=ρ₀gS₂h₃…③
設(shè)容器只裝液體時(shí)高度為h，則水體積S₁h，剪斷細(xì)線前容器水的高度：
總體積（液體的體積、正方體體積、盒子排開(kāi)水的體積）除以底面積，
即為

(S1h+S2h2+V1)

S1

；
所以此時(shí)容器底壓強(qiáng)為P₁=

ρ0g(S1h+S2h2+V1)

S1

；
同理可得剪斷細(xì)線后壓強(qiáng)P₂=

ρ0g(S1h+S2h3+V1)

S1

；
于是減少的壓強(qiáng)：△p=

ρ0gS2( h2-h3)

S1

…④
由①②③式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算（比較復(fù)雜，數(shù)學(xué)過(guò)程就自己玩吧）可以得到：
P₀=

ρ(h1-h2)

h1-h3

；
代入④式得△p=

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．
故答案為：

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查液體壓強(qiáng)的計(jì)算，難點(diǎn)是對(duì)物體進(jìn)行受力分析，判斷出液面的變化情況，這是解決本題的關(guān)鍵．