Question

4．如圖所示，邊長為0.2米的正方體甲和底面積為0.03米²的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，內(nèi)盛有0.3米深的水．正方體甲的密度為5×10³千克/米³．
求：
（1）甲的質(zhì)量；
（2）水對乙容器底部的壓強；
（3）把一個底面積為0.02米²，高0.3米圓柱體A（已知ρ_水＞ρ_A）先后放置在正方體甲上和乙容器的水中，甲對地面壓強的增加量與水對乙容器底部的壓強增加量相等，求A物體的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）已知正方體甲的邊長可求體積，又知道正方體甲的密度，根據(jù)m=ρV求出甲的質(zhì)量；
（2）已知水的深度，利用公式p=ρgh求出水對乙容器底部的壓強；
（3）水平面上物體的壓力和自身的重力，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$表示出甲對地面壓強的增加量，由ρ_水＞ρ_A可知圓柱體A在乙容器中處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)F_浮=ρgV_排表示出物體A排開水的體積，設(shè)水未溢出，根據(jù)體積公式表示出水面上升的高度，利用p=ρgh表示出水對乙容器底部的壓強增加量，利用甲對地面壓強的增加量與水對乙容器底部的壓強增加量相等得出等式，然后判斷出乙中水應(yīng)溢出，再求出水面上升的高度，利用甲對地面壓強的增加量與水對乙容器底部的壓強增加量相等得出等式即可求出物體A的質(zhì)量．

解答 解：（1）正方體甲的體積：
V_甲=（0.2m）³=8×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲物體的質(zhì)量：
m_甲=ρ_甲V_甲=5×10³kg/m³×8×10^-3m³=40kg；
（2）水對乙容器底部的壓強：
p_水=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.3m=2940Pa；
（3）因水平面上物體的壓力和自身的重力相等，
所以，圓柱體A放置在正方體甲上時，甲對地面壓強的增加量：
△p_甲=$\frac{△{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$，
因ρ_水＞ρ_A，
所以，圓柱體A放置在乙容器的水中時，處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，
由F_浮=ρgV_排可得，物體A排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{G}_{A}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$，
若水未溢出，水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$，
水對乙容器底部的壓強增加量：
△p_水=ρ_水g△h=ρ_水g×$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
因甲對地面壓強的增加量與水對乙容器底部的壓強增加量相等，
所以，$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
則S_甲=S_乙-S_A=0.03m²-0.02m²≠（0.2m）²=0.04m²，
故乙容器內(nèi)水有溢出，水面上升的高度：
△h′=h_容-h_水=0.4m-0.3m=0.1m，
由△p_甲=△p_水可得：
$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=ρ_水g△h′，
即m_A=ρ_水S_甲△h′=1.0×10³kg/m³×0.04m²×0.1m=4kg．
答：（1）甲的質(zhì)量為40kg；
（2）水對乙容器底部的壓強為2940Pa；
（3）A物體的質(zhì)量為4kg．

點評 本題考查了密度公式和液體壓強公式、固體壓強公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是會判斷圓柱體A放入乙容器中時水是否溢出，要注意水平面上物體的壓力和自身的重力相等．