Question

17．由相同的電阻和相同的電壓表組成一個(gè)如圖所示的電路，第一個(gè)和第三個(gè)電壓表的讀數(shù)分別為U₁=10V，U₃=8V．則第二個(gè)電壓表的讀數(shù)是4（$\sqrt{10}$-1）伏．

Answer 1

分析 從電路圖的最右側(cè)開始，根據(jù)串并聯(lián)電路的電流特點(diǎn)和歐姆定律表示出電壓表V₁的示數(shù)，然后得出等式求出電壓表電阻與R的關(guān)系，最后求出第二個(gè)電壓表的讀數(shù)．

解答 解：如圖所示：

最右側(cè)，R與R_V串聯(lián)，該支路的電流：
I₁=$\frac{{U}_{V3}}{{R}_{V}}$=$\frac{8V}{{R}_{V}}$，
R與V₃串聯(lián)后與V₂并聯(lián)時(shí)，并聯(lián)部分的電壓：
U_V2=U_并1=U₁+U_V3=I₁R+U_V3=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×R+8V=$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{R}_{V}}$，
通過V₂的電流：
I₂=$\frac{{U}_{并1}}{{R}_{V}}$=$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$，
通過中間R的電流：
I=I₁+I₂=$\frac{8V}{{R}_{V}}$+$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$=$\frac{8V×（R+{2R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$，
則U_V1=U₂+U_V2=IR+U_V2=$\frac{8V×（R+{2R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$×R+$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{R}_{V}}$=10V，
整理可得：4R²+12RR_V-R_V²=0，
解得：R=$\frac{-3+\sqrt{10}}{2}$R_V，R=$\frac{-3-\sqrt{10}}{2}$R_V（舍去），
則第二個(gè)電壓表的讀數(shù)：
U_V2=U₁+U_V3=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×R+8V=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×$\frac{-3+\sqrt{10}}{2}$R_V+8V=4（$\sqrt{10}$-1）V．
故答案為：4（$\sqrt{10}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了串并聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律的應(yīng)用，分清電路的結(jié)構(gòu)得出等式是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是解方程得出電壓表內(nèi)阻與電阻R的阻值關(guān)系．