Question

1．小明設(shè)計(jì)了一個(gè)公廁中的自動(dòng)沖刷廁所的水箱，這種水箱能把自來水管持續(xù)供給的較小流量的水儲(chǔ)備到一定量后，自動(dòng)開啟放水閥，這樣就可用較大水量沖刷便池中的污物，水箱的結(jié)構(gòu)如圖所示．
已知水箱底為邊長(zhǎng)L=40cm的正方形，A是一面積為50cm²的長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=8cm的長(zhǎng)方形放水閥門，其質(zhì)量和厚度忽略不計(jì)，且恰好能將排水管口蓋嚴(yán)，閥門在左端用活頁(yè)固定在箱底的排水管口的邊緣，右端通過一很小的掛鉤及連桿與浮子B相連，連桿的長(zhǎng)度h₀=10cm，浮子B的高是H=30cm、質(zhì)量m=0.4kg的空心圓柱體，設(shè)水箱每次放水都能將水箱中的水全部放凈，當(dāng)水箱內(nèi)水面漲到36cm時(shí)開始放水，（g取10N/kg）求：
（1）此時(shí)A受到水的壓強(qiáng)、壓力分別為多少？
（2）浮子B的橫截面積為多大？
（3）若自來水進(jìn)水管的流量是0.2m³/h，水箱某次放水結(jié)束到下次開始放水的時(shí)間間隔為多少？（此時(shí)可忽略浮子B排開水的體積．

Answer 1

分析 （1）利用p=ρgh求出水產(chǎn)生的壓強(qiáng)，利用F=pS求出壓力；
（2）浮子B對(duì)閥門A產(chǎn)生一個(gè)向上的拉力，這個(gè)拉力使閥門A向上運(yùn)動(dòng)造成閥門A打開，水向外流出．
①以浮子B為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析：其受到的向下的重力、連桿對(duì)其向下拉力和向上的浮力．其處于平衡狀態(tài)，從而可以得到三者的關(guān)系．進(jìn)而可以得到連桿拉力和水的高度的關(guān)系式；
②以閥門A為研究對(duì)象，它是一個(gè)以左端為支點(diǎn)的杠桿．動(dòng)力為連桿對(duì)其向上的拉力，動(dòng)力臂等于其直徑；阻力為水對(duì)它向下的壓力，其作用點(diǎn)在其圓心上，因此阻力臂為其半徑．根據(jù)杠桿的平衡條件可以得到連桿拉力和水的高度的關(guān)系式．
兩者聯(lián)立可以求得水的高度．
（3）當(dāng)水箱內(nèi)的水高度達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)，水箱內(nèi)的水就向外排出，因此水管中流出的水的體積等于水箱內(nèi)水達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)的體積時(shí)，所用的時(shí)間就是間隔的放水時(shí)間．

解答 解：（1）已知：水箱中水面高度為h=36cm=0.36m，S_A=50cm²=5×10^-3m²，
則A受到水的壓強(qiáng)p_A=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.36m=3.6×10³Pa，
由p=$\frac{F}{S}$得：水對(duì)容器底部的壓力F_A=p_AS_A=3.6×10³Pa×5×10^-3m²=18N．
（2）已知h₀=10cm=0.1m，L₁=8cm=0.08m，m=0.4kg，H=30cm=0.3m，
設(shè)浮子B的橫截面積為S_B，連桿對(duì)閥門A的拉力為T，此時(shí)閥門剛好可被拉開．
此時(shí)浮子B浸入水中的深度是：h-h₀，則排開的水的體積是：V_排=S_B（h-h₀），
受到的浮力：F_浮=ρ_水gS_B（h-h₀），
對(duì)浮子B根據(jù)平衡條件有：mg+T=F_浮=ρ_水gS_B（h-h₀），
即：0.4kg×10N/kg+T=1×10³kg/m³×10N/kg×S_B×（0.36m-0.1m）----------------①
由于閥門在左端用活頁(yè)固定在箱底的排水管口的邊緣，右端通過一很小的掛鉤及連桿與浮子B相連，則以閥門左端為支點(diǎn)，對(duì)放水閥門A根據(jù)杠桿的平衡條件有：T×L₁=F_A×$\frac{1}{2}$L₁，
即：T×0.08m=18N×0.04m----------------②
 聯(lián)立①②式可解得：S_B=5×10^-3m²．
（2）已知：邊長(zhǎng)L=40cm=0.4m，Q=0.2m³/h．
當(dāng)水位達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)，水箱內(nèi)水的體積為：V_水=L²h-V_排=（0.4m）²×0.36m-5×10^-3m²×（0.36m-0.1m）=0.0563m³，
自來水管的流量Q=0.2m³/h  蓄滿一箱水所用時(shí)間
t=$\frac{{V}_{水}}{Q}$=$\frac{0.0563{m}^{3}}{0.2{m}^{3}/h}$=0.2815h≈17min                        
答：（1）此時(shí)A受到水的壓強(qiáng)、壓力分別為3.6×10³Pa、18N．
（2）浮子B的橫截面積為5×10^-3m²．
（3）若自來水進(jìn)水管的流量是0.2m³/h，水箱某次放水結(jié)束到下次開始放水的時(shí)間間隔為17分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了二力平衡的條件、液體壓強(qiáng)的計(jì)算、阿基米德原理、杠桿的平衡條件等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，題目的難度較大．
在此題的第一問中，兩次確定研究對(duì)象，得到關(guān)于連桿拉力和浮子B的橫截面積的關(guān)系式是解決此題的難點(diǎn)．