Question

如圖（a）所示，輕質薄壁圓柱形容器甲置于水平地面，底面積為2S，容器高0.2米，內盛0.15米深的水。
① 若容器的底面積為4×10^-2米²，求容器中水的質量m。
② 求0.1米深處水的壓強p。
③ 現有面積為S、密度為6r_水圓柱體乙，如圖（b）所示，在乙上方沿水平方向切去高為Δh的部分A（Δh＜0.3米），如圖（c）所示，將A放入容器甲中（A與甲底部沒有密合），并將此時的容器置于剩余圓柱體B的上方中央。

（a）若要使水對容器底部的壓強p_水最大，求切去部分A高度的最小值Δh_小。
（b）若要使水對容器底部的壓強p_水與地面受到的壓強p_地的比值最大，求切去部分A高度Δh的范圍，并求比值p_水/p_地。

Answer 1

① m＝ρV＝10³千克/米³×4×10^-2米²×0.15米＝6千克
②p＝r gh＝1×10³千克/米³×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③（a）2 S×（0.2m－0.15m）＝S×Δh_小 ，解得Δh_小＝0.1m。（b）p_水＝r gDh＝0.2r g
p_地＝F/S＝（G_乙+G_水—G_溢）/S＝2r g，p_水/p_地＝0.2r g/2r g＝1︰10，Dh≥0.2米

試題分析：①由題意知容器中水的體積V= 4×10^-2m²×0.15m=0.6×10^-2m³，密度ρ=1.0×10³kg/m³，水的質量m＝ρV＝1.0×10³kg/m³×0.6×10^-2m³＝6kg。② 由題意知：水的密度ρ=1.0×10³kg/m³，深度h=0.1m，g=9.8N/kg，則水產生的壓強p＝r gh＝1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m＝980Pa。③（a）要使水對容器底部的壓強p_水最大，切去部分A高度的最小，則A放入后，容器中的水剛滿，由題意知2 S×（0.2m－0.15m）＝S×Δh_小 ，解得Δh_小＝0.1m。（b）要使水對容器底部的壓強p_水與地面受到的壓強p_地的比值最大，則使p_水最大為p_水＝r gh_最大＝0.2r g，使p_地最小，溢出的水最多，故切去部分A的高度范圍為Dh≥0.2m，p_地最小為p_地＝F/S＝（G_乙+G_水—G_溢）/S=（0.3×6ρSg+0.15×2ρSg－0.1×ρSg）＝2r g，p_水/p_地＝0.2r g/2r g＝1︰10。