Question

3．演繹式探究--探索宇宙：
（1）牛頓認為，宇宙中任何兩個物體之間都存在引力，引力大小F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個物體的質(zhì)量，r為兩個物體間的距離，k=6.67×l0^-11m³/（kg•s²）．可見，當兩個物體間的距離增大時，它們之間的引力將變變�。�
用線繩拴著一個小球使它以手為圓心轉(zhuǎn)動時，繩子對小球有一個向圓心拉的力，這個力叫做向心力．這是小球得以繞圓心做圓周運動的條件．宇宙中的星體也是如此：
行星繞恒星的運動可以近似地看作是勻速圓周運動（如圖），行星受到一個恒定的指向圓心（恒星）的向心力，向心力的大小F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，其中m為行星質(zhì)量，v為行星繞恒星勻速運動的速度，r為運動半徑（即兩星之間的距離）．并且，向心力的大小等于母星對它的引力F_引．
（2）已知月球繞地球一周所用的時間為T，地月之間的距離為r，請你推導出地球質(zhì)量M的數(shù)學表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判斷兩個物體間的距離增大時，它們間的引力如何變化．
（2）現(xiàn)推導出速度v與周期T的關系，代入向心力公式，然后由萬有引力公式與向心力公式列方程，解方程即可求出地球質(zhì)量M的表達式．

解答 解：
（1）由F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$知：當兩個物體間的距離r增大時，它們之間的引力將變�。�
（2）向心力F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{（\frac{s}{T}）^{2}}{r}$=m $\frac{（2πr）^{2}}{r{T}^{2}}$=m $\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，設月球質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，
月球繞地球做圓周運動的向心力由地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供，
即：$\frac{kmM}{{r}^{2}}$=m $\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$r，
所以M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{k{T}^{2}}$．
答：
（1）變��；
（2）地球質(zhì)量的表達式為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{k{T}^{2}}$．

點評 這是一道信息給予題，認真審題，充分理解題意，由題干獲取足夠的信息是解題的關鍵．