Question

19．下面是小明自制“浮力秤”的裝置圖（如圖所示）和使用說明書．
“浮力秤”使用說明書已知水的密度為ρ_水，稱盤中未放物體時浮體的圓柱體浸入水中的深度為h₀，請根據上述內容和條件解答：
（1）在圖中畫出未稱物體時，浮體在水中沿豎直方向受力的示意圖．
（2）推導出被稱物體質量m與浮體的圓柱體浸入水中深度h之間的關系式．
（3）求出要使此“浮力秤”能夠達到最大稱量值，使用前應在處筒中至少加入的水的質量，并求出這種情況下浮體與外筒底接觸但不密合時浮體對外筒的壓強．

Answer 1

分析 （1）浸在液體中的物體受豎直向上的浮力和豎直向下的重力；
（2）根據物體漂浮浮力等于重力，然后根據阿基米德原理以及重力、密度公式表示出浮力與重力的關系，并進一步化簡得出被稱物體質量m與浮體的圓柱體浸入水中深度h之間的關系式；
（3）先根據密度的變形公式求出最少加入水的體積，然后再利用密度的變形公式求出在外筒中至少加入的水的質量．

解答 解：（1）過浮體的重心分別沿豎直向上和豎直向下的方向畫一條帶箭頭的線段，并用符合F_浮1和G₀表示，如圖所示：

（2）秤盤中未放物體時，浮體在水中漂浮，有F_浮1=G₀，ρ_水gV_排1=G₀，可得G₀=$\frac{π}{4}$D₀²ρ_水gh₀，被稱物體放在秤盤上后，浮體仍漂浮，有F_浮2=G₀+G_物，ρ_水gV_排2=G₀+mgρ_水g•$\frac{π}{4}$D₀²h=ρ_水g•$\frac{π}{4}$D₀²h₀+mg，則m=$\frac{π}{4}$D₀²ρ_水（h-h₀）；
（3）至少應加入的水的體積V_水=$\frac{π}{4}$（D²-D₀²）L₀，其質量為m_水=ρ_水V_水=$\frac{π}{4}$（D²-D₀²）ρ_水L₀
${m_水}g+{G_0}={ρ_水}gπ\(zhòng)frac{D^2}{4}+{F_N}$
$P=\frac{F_N}{{\frac{π}{4}{D^2}{L_0}}}$
所以$P=\frac{{{ρ_水}g（h-{L_0}）}}{L_0}$．
答：（1）見上圖；
（2）被稱物體質量m與浮體的圓柱體浸入水中深度h之間的關系式是m=$\frac{π}{4}$D_O²ρ_水（h-h₀）；
（3）使用前應在處筒中至少加入的水的質量是$\frac{π}{4}$（D²-D₀²）ρ_水L₀；這種情況下浮體與外筒底接觸但不密合時浮體對外筒的壓強是$P=\frac{{{ρ_水}g（h-{L_0}）}}{L_0}$．

點評 本題綜合考查了力的示意圖、密度、重力以及阿基米德原理的應用，難度適中．