【題目】設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足為線段的中點，且AB⊥。

（I）求橢圓C的離心率；

（II）若過A、B、三點的圓與直線：相切，求橢圓C的方程；

（III）在（I）的條件下，過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由題意可得過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r=

=2c，根據(jù)直線與圓相切可得，解得c=1，從而，，可得橢圓的方程．（Ⅲ）由條件可設(shè)直線MN的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，由此得到，整理得，最后可求得．

詳解：（I）∵AB⊥AF2，為的中點，

∴

∵，

∴，

∴，

即橢圓C的離心率為．

（II）過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r==2c．

∵直線：相切，

∴，

解得c=1．

又，

∴，

∴．

∴橢圓C的方程為．

（III）由(I)知，F2(1，0)，直線MN的方程為，

由 消去y整理得

∵直線與橢圓C交于M，N兩點，

∴．

設(shè)M(，)，N(，)，

則

∴，

∴MN的中點Q的坐標為，

若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，

則,

∴

整理得，

∵，

∴，

∴．

∴．

故存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是(．

練習冊系列答案
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【題目】已知數(shù)列的前項和為，若，，則__________ (用數(shù)字作答)．

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【題目】一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的5張標簽，隨機地依次選取兩張標簽，根據(jù)下列條件求兩張標簽上的數(shù)字為相等整數(shù)的概率；

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（2）標簽的選取是有放回的.

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月份

銷售單價（元）

銷售量（千件）

（1）根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到）；

（2）結(jié)合（1）中的線性回歸方程，假設(shè)該型號電視機零配件的生產(chǎn)成本為每件元，那么工廠如何制定月份的銷售單價，才能使該月利潤達到最大（計算結(jié)果精確到）？

參考公式：回歸直線方程，其中.

參考數(shù)據(jù)：.

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【題目】如圖，拋物線的焦點為，拋物線上兩點，在拋物線的準線上的射影分別為.

（1）如圖，若點在線段上，過作的平行線與拋物線準線交于，證明：是的中點；

（2）如圖，若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

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【題目】某品牌計算機售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%，需要維修2次的占6%，需要維修3次的占4%.

（1）某人購買了一臺這個品牌的計算機，設(shè)=“一年內(nèi)需要維修k次”，k=0,1,2,3,請?zhí)顚懴卤恚?/span>

事件

概率

事件是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？

（2）求下列事件的概率：

①A=“在1年內(nèi)需要維修”;

②B=“在1年內(nèi)不需要維修”；

③C=“在1年內(nèi)維修不超過1次”.

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【題目】已知點F為拋物線C：x2＝2py (p＞0) 的焦點，點A(m，3)在拋物線C上，且|AF|＝5，若點P是拋物線C上的一個動點，設(shè)點P到直線的距離為，設(shè)點P到直線的距離為．

(1)求拋物線C的方程；

(2) 求的最小值；

(3)求的最小值．

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【題目】某高中嘗試進行課堂改革.現(xiàn)高一有兩個成績相當?shù)陌嗉�，其�?/span>班級參與改革，班級沒有參與改革.經(jīng)過一段時間，對學生學習效果進行檢測，規(guī)定成績提高超過分的為進步明顯，得到如下列聯(lián)表.

進步明顯

進步不明顯

合計

班級

班級

合計

（1）是否有的把握認為成績進步是否明顯與課堂是否改革有關(guān)?

（2）按照分層抽樣的方式從班中進步明顯的學生中抽取人做進一步調(diào)查，然后從人中抽人進行座談，求這人來自不同班級的概率.

附：，當時，有的把握說事件與有關(guān).

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【題目】某少兒游泳隊需對隊員進行限時的仰臥起坐達標測試.已知隊員的測試分數(shù)與仰臥起坐

個數(shù)之間的關(guān)系如下：；測試規(guī)則：每位隊員最多進行三組測試，每組限時1分鐘，當一組測完，測試成績達到60分或以上時，就以此組測試成績作為該隊員的成績，無需再進行后續(xù)的測試，最多進行三組；根據(jù)以往的訓練統(tǒng)計，隊員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時測試的頻率分布直方圖如下：

（1）計算值；

（2）以此樣本的頻率作為概率，求

①在本次達標測試中，“喵兒”得分等于的概率；

②“喵兒”在本次達標測試中可能得分的分布列及數(shù)學期望.

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